极点 (复分析)

伽玛函数的绝对值。从左面可以看出，在极点处函数的值趋于无穷大。而在图像的右面，则没有极点。

亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同${\displaystyle z-a=0}$时${\displaystyle {\frac {1}{(z-a)^{n}}}}$的奇点。也就是说，如果当${\displaystyle z\to a}$时，函数${\displaystyle f(z)\to \infty }$，那么${\displaystyle f(z)}$在${\displaystyle z=a}$处便具有极点。

定义

假设${\displaystyle U}$ 是复平面${\displaystyle \mathbb {C} }$的开子集，${\displaystyle a}$是${\displaystyle U}$的一个元素，${\displaystyle f:U-\{a\}\to \mathbb {C} }$是一个在定义域内全纯的函数。如果存在一个全纯函数${\displaystyle g:U\to \mathbb {C} }$和一个非负整数${\displaystyle n}$，使得对于所有${\displaystyle U-\{a\}}$内的${\displaystyle z}$，都有

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}}$

那么${\displaystyle a}$便称为${\displaystyle f}$的极点。满足以上条件的最小整数${\displaystyle n}$称为极点的阶。一阶的极点又称为简单极点。

性质

1.函数f在极点a的极限值是${\displaystyle \infty }$.也就是说

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}f(z)=\infty }$

2.由性质1.可知,如果令函数

${\displaystyle h(z)={\frac {1}{f(z)}}}$

那么代入定义可知：

${\displaystyle h(z)=(z-a)^{m}{\frac {1}{g(z)}}}$

其中${\displaystyle {\frac {1}{g(z)}}}$在${\displaystyle z=a}$点解析。那么有${\displaystyle z=a}$是${\displaystyle h(z)}$的m阶零点。

3.由于${\displaystyle g}$是全纯函数，${\displaystyle f}$可以表示为：

${\displaystyle f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}.}$

这是一个洛朗级数，它的主部分是有限的。全纯函数${\displaystyle \sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}}$称为${\displaystyle f}$的正则部分。因此，点${\displaystyle a}$是${\displaystyle f}$的${\displaystyle n}$阶极点，当且仅当${\displaystyle f}$在${\displaystyle a}$处的罗朗级数中所有低于${\displaystyle -n}$的次数都为零，而${\displaystyle -n}$次项不为零。

评论

如果函数${\displaystyle f}$的一阶导数在${\displaystyle a}$处具有简单极点，则${\displaystyle a}$是${\displaystyle f}$的一个分支点（英语：Branch point），但反过来不成立。

一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为本性奇点。

除了一些孤立奇点外全纯的函数，且所有的奇点均为极点，则该函数称为亚纯函数。

参见

• 零点
• 留数

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Pole. MathWorld. 
• 零点和极点的教程