流 (数学)

在数学中， 一个流用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法，这经常出现在工程学, 物理学和常微分方程的研究中。非正式地说，如果 ${\displaystyle x(t)}$ 是某一系统的坐标连续表现为一个 t 的函数，那么${\displaystyle x(t)}$ 是一个流。更形式地说，流是单参数群在一个集合上的群作用。

向量流的概念，即由一个向量场确定的流，出现于微分拓扑、黎曼流形和李群诸多领域。向量流的特例包括测地流、哈密顿流、里奇流、平均曲率流以及 Anosov 流。

形式化定义

集合 ${\displaystyle X}$ 上的一个流是 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ 在 ${\displaystyle X}$ 上的群作用。更准确地，流是一个函数 ${\displaystyle \varphi :X\times \mathbb {R} \rightarrow X}$，满足 ${\displaystyle \varphi (x,0)=x}$ 且和单参数群保持一致：

${\displaystyle \varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t)}$

对所有 ${\displaystyle s,t}$ 属于 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 和 ${\displaystyle x\in X}$ 。

集合 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x,\varphi )=\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}}$ 称为${\displaystyle x}$ 在${\displaystyle \varphi }$ 作用下的轨道。

当空间 ${\displaystyle X}$ 有额外的结构（比如 ${\displaystyle X}$ 是一个拓扑空间或 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}.}$）时，流经常要求连续甚至可微。

在许多领域，包括在工程学、物理和常微分方程研究中一般用一个记号明确的表明流。从而

${\displaystyle x(t)}$

写成 ${\displaystyle \phi (x,t)}$，这样我们可以说“变量 x 取决于时间 t”。事实上，在记号上，有严格的等价关系：${\displaystyle x(t)\equiv \phi (x,t)}$。类似地

${\displaystyle x_{0}=x(0)}$

写成 ${\displaystyle x=\phi (x,0)}$，等等。

例子

流最常见的例子是描述自治常微分方程的解，当方程的解存在且惟一时

${\displaystyle y'=f(y),\;\;\;y(0)=x}$

可作为初始条件 ${\displaystyle x}$ 的函数。这就是，如果以上方程有惟一的解 ${\displaystyle \psi _{x}:\mathbb {R} \rightarrow X}$ 对任何 ${\displaystyle x\in X}$，那么${\displaystyle \varphi (x,t)=\psi _{x}(t)}$ 定义了一个流。

参考文献

• D.V. Anosov, Continuous flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• D.V. Anosov, Measureable flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• D.V. Anosov, Special flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
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