常微分方程
在数学分析中,常微分方程(英語:ordinary differential equation,簡稱ODE)是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念,请参见微积分、微分学、积分学等条目。
很多科学问题都可以表示为常微分方程,例如根据牛顿第二运动定律,物体在力的作用下的位移 和时间 的关系就可以表示为如下常微分方程:
- ;
其中 是物体的质量, 是物体所受的力,是位移的函数。所要求解的未知函数是位移 ,它只以时间 为自变量。
精确解总结
一些微分方程有精确封闭形式的解,这里给出几个重要的类型。
在下表中,和 是任意关于的可积函数,是给定的实常数,是任意常数(一般为复数)。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。
在积分解中, 和 是积分变量(求和下标的连续形式),记号 只表示对积分,在积分以后 替换,无需加常数(明确说明)。
微分方程
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解法
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通解
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可分离方程
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一阶,变量 和 均可分离(一般情况, 下面有特殊情况)[1]
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分离变量(除以)。
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一阶,变量 可分离[2]
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直接积分。
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一阶自治,变量 可分离[2]
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分离变量(除以 )。
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一阶,变量 和 均可分离[2]
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整个积分。
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一般一阶微分方程
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一阶,齐次[2]
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令 ,然后通过分离变量 和 求解.
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一阶,可分离变量[1]
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分离变量(除以 )。
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如果, 解为.
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正合微分, 一阶[2]
其中
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全部積分
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其中 和 是积分出来的函数而不是常数,将它们列在这里以使最终函数 满足初始条件。
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非正合微分, 一阶[2]
其中
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积分因子 满足
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如果可以得到 :
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一般二阶微分方程
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二阶, 自治[3]
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原方程乘以 , 代换, 然后两次积分.
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线性方程 (最高到阶)
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一阶线性,非齐次的函数系数[2]
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积分因子: .
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二阶线性,非齐次的常系数[4]
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余函数 : 设 ,代换并解出 中的多项式,求出线性无关函数 。
特解 :一般运用常数变易法,虽然对于非常容易的 可以直观判断。[2]
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如果 , 则:
如果 , 则:
如果 , 则:
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阶线性,非齐次常系数[4]
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余函数 :设 ,代换并解出 中的多项式,求出线性无关函数 .
特解 :一般运用常数变易法,虽然对于非常容易的 可以直观判断。[2]
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由于 为 阶多项式的解:
,于是:
对于各不相同的 ,
每个根 重复 次,
对于一些复数值的 αj,令 α = χj + iγj,使用欧拉公式,前面结果中的一些项就可以写成
的形式,其中 ϕj 为任意常量(相移)。
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参见
参考资料
- ^ 1.0 1.1 Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
- ^ Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5
- ^ 4.0 4.1 Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3
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