换元积分法,又稱變數變換法(英語:Integration by substitution),是求积分的一种方法,由链式法则和微积分基本定理推导而来。
设 f ( x ) {\displaystyle f(x)\ } 为可积函数, g = g ( x ) {\displaystyle g=g(x)\ } 为连续可导函数,则有:
第一类换元法的基本思想是配凑的思想。
设 f ( x ) {\displaystyle f(x)\ } 为可积函数, x = x ( g ) {\displaystyle x=x(g)\ } 为连续可导函数,则有:
在遇到类似 x 2 − − --> a 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}} 、 x 2 + a 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}} 和 a 2 − − --> x 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}} 的式子时,通常采取分别令 x = ± ± --> a sec --> t {\displaystyle x=\pm a\sec t} 、 x = ± ± --> a tan --> t {\displaystyle x=\pm a\tan t} 或 x = ± ± --> a sin --> t {\displaystyle x=\pm a\sin t} 进行换元[1],得到关于 t {\displaystyle t} 的一个原函数。如果要计算不定积分,则再由 x {\displaystyle x} 与 t {\displaystyle t} 的关系还原即可;如果要计算定积分,只需在变换后的积分限 α α --> {\displaystyle \alpha } 和 β β --> {\displaystyle \beta } 下计算相应的定积分即可。
计算积分 ∫ ∫ --> 0 2 x cos --> ( x 2 + 1 ) d x {\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx} 。
設 u = x 2 + 1 {\displaystyle u=x^{2}+1} , 則 d u = 2 x d x {\displaystyle du=2xdx} 當 x = 0 {\displaystyle x=0} , u = 1 {\displaystyle u=1} 當 x = 2 {\displaystyle x=2} , u = 5 {\displaystyle u=5}
其中 d x {\displaystyle dx} 换元为 d u {\displaystyle du} 后, ∫ ∫ --> 0 2 {\displaystyle \int _{0}^{2}} 亦变为 ∫ ∫ --> 1 5 {\displaystyle \int _{1}^{5}} ,是因为其形式为黎曼-斯蒂尔杰斯积分,但在黎曼-斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围,而不是 g(x) 的取值范围。