zh %E6%9B%B2%E7%BA%BF

曲（qū）线（英語：curve，旧称curved line）是平滑弯曲的线段或线条，相对于直线；曲线也指动点（moving point）在空间中运动方向连续变化的轨迹^[1]^[2]。

在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。

历史

在数学上，一条曲线的定义为：

设

I=[a,b]

为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线

c

就是一个连续函数

c:I\rightarrow X

的映射，其中

X

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为 $\mathbb {R} ^{2}$ 。

若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。

若 $I=[a,b]$ 和 $f(a)=f(b)$ ，f是闭曲线（closed curve）或環圈。

一般来说，当在 $\mathbb {R} ^{n}$ 下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（curvilinear equation，curve equation）。

例如， $x^{2}+y^{2}=1$ 是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

若 $\gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}$ ，则其长度是

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t$

例如，若一条平面曲线可表达成标准方程 $y=f(x)$ ，那么它的长度就是：

$\int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}$

其中 $a\,$ 、 $b\,$ 为 $x\,$ 的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程 $x(t),y(t)$ ，那么它的长度就是：

$\int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}$

其中 $\alpha \,$ 、 $\beta \,$ 为 $t\,$ 的上下限。

^ In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
^ 几何学分支编写组. 曲线. 《中国大百科全书》第三版.