大数 (数学)

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英语：Dual quaternion） 超复数 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定义数 序数 超限数 p進數 数学常数 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

大数是指远远超出了日常生活使用范围（例如简单的计数或金融交易）的数字，在各个领域都发挥着至关重要的作用。这些庞大的数量在数学、宇宙学、密码学和统计力学中占有重要地位。虽然它们通常表现为较大的正整数，但它们也可以在不同情况下呈现其他形式（例如P进数）。大数学（英語：Googology）[1]深入研究了这些巨大数字实体的命名约定和属性。

表示法

科学计数法

大数字通常采用科学计数法计数，即把数字记成ɑ×10^n形式（其中1≤|ɑ|<10）。如59000写作5.9×10^4等。

分级法

参见：数量级 (数)和大數名稱

數量級	中文萬進制	短級差 (美国, 东欧, 加拿大和 澳大利亚英语 以及现代英语)	長級差 (西欧中欧和加拿大法语 以及老式英语)
10^1	十	Ten
10^2	百	Hundred
10^3	千	Thousand
10^4	萬
10^6	百萬	Million
10^8	億
10^9	十億	Billion	Milliard
10^12	兆 [2]	Trillion	Billion
10^15	千兆	Quadrillion	Billiard
10^16	京
10^18	百京	Quintillion	Trillion
10^20	垓
10^21	十垓	Sextillion
10^24	秭	Septillion	Quadrillion
10^27	千秭	Octillion
10^28	穰
10^30	百穰	Nonillion	Quintillion
10^32	溝
10^33	十溝	Decillion
10^36	澗	Undecillion	Sextillion
10^39	千澗	Duodecillion
10^40	正
10^42	百正	Tredecillion	Septillion
10^44	載
10^45	十載	Quattuordecillion
10^48	極	Quindecillion	Octillion
10^51	千極	Sexdecillion
10^52	恆河沙
10^54		Septendecillion	Nonillion
10^56	阿僧祇
10^57		Octodecillion
10^60	那由他	Novemdecillion	Decillion
10^63		Vigintillion
10^64	不可思議
10^66		Unvigintillion	Undecillion
10^68	無量
10^69		Duovigintillion
10^72	大數	Tresvigintillion	Duodecillion
10^75		Quattuorvigintillion
10^78			Tredecillion
10^84			Quattuordecillion
10^90			Quindecillion
10^93		Trigintillion
10^96			Sexdecillion
10^100	古戈爾（Googol)
10^102			Septendecillion
10^108			Octodecillion
10^114			Novemdecillion
10^120			Vigintillion
10^123		Quadragintillion
10^153		Quinquagintillion
10^180			Trigintillion
10^183		Sexagintillion
10^213		Septuagintillion
10^243		Octogintillion
10^273		Nonagintillion
10^303		Centillion
10^600			Centillion
10^3003		Millinillion[3]
10^6000			Millinillion
10^10100	古戈爾普勒克斯（Googolplex)
10^1010100	Googolplexian

著名的大数

• googol（果戈尔、古高尔）

美国数学家爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）在1940年创造，代表10^100（1后面接100个0，按数位念作“一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿”，一万后念12个“亿”）

• googolplex（果戈尔普莱克斯、古戈尔普勒克斯）

表示10的一个古戈尔次幂，即10^10100（1后面接10^100个0）。

• 斯奎斯数（英語：Skewes' number）

表示素数计数函数與对数积分函數交叉點的數值上界，斯奎斯於1933年證明了其中一個上界，又被稱作第一斯奎斯數：

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}}$（左為準確值，右為近似值）。

• 葛立恆數（簡稱G64，因為必須使用64層高德納箭號表示法才表示得出來）

• TREE(3)（英语：TREE(3)）

• 拉約數（英語：Rayo's number）

大數記號

雖然在現實世界中，使用指數來表示大數就已經綽綽有餘，但是在少數的數學問題中會用到的大數，如葛立恆數，仍然是不能用指數來表示的。為了表達這樣的大數，數學家們想出了以下記號：

• 高德納箭號表示法多層嵌套的指數塔，是一個簡單的符號。
• 超運算按照加法、乘法和冪的遞迴模式來構造更高級的運算，本質上跟箭號表示法是一樣的。
• 康威鏈式箭號表示法這種記號是箭號表示法的一種延伸，它能夠表示遠遠超出葛立恆數的數。
• 斯坦豪斯-莫澤表示法透過多邊形來表示大數。
• 超階乘是階乘的一個擴展。
• 阿克曼函數是一個二元函數，增長率非常快，跟高德納箭號表示法是同一個等級。
• 旋轉箭號表示法它是箭號表示法跟鏈式箭號表示法的延伸，並且所能構造的大數比它們更大。
• BEAF就算是開頭的線性數陣等級，也遠遠超越了上面的大多數記號。
• SUPER它是上面線性數陣的延伸，能够構造出遠遠大於上面線性數陣的超級大數。

大数表示发展史

大数的表示最早在古希腊数学家阿基米德开始，他在理论上提出了一种表示大数的方法，但他是否创设了适当的符号不得而知。在他的著作《论数沙》中有这样一段文字：

有人认为，无论是在叙拉古城，还是在整个西西里岛或者在世界上有人烟和没有人迹的地方，沙粒的数目都是无穷的；也有人认为沙粒的数目不是无穷的‘但是想表示沙子的数目是办不到的……但是，我要告诉大家，用我找到的方法，不但能表示出占地球那么大地方的沙粒的数目，甚至还能表示把所有的海洋和洞穴都填满了沙粒，这些沙粒总数不会超过1后面有100个零。

在这段文字中，“1后面连续有100个零”即10^100。[4]

参考文献

1. 曹知秋. 大数理论 (PDF). ISBN 9787230134729. 
2. 目前对“兆应该表示几”有争议。在《中华人民共和国法定计量单位》的国际单位制词头中，代表一百万（10^6）的词头mega被翻译成“兆”。台湾的《法定度量衡單位及其使用之倍數、分數之名稱、定義及代號》中，代表一万亿（10^12）的词头tera被翻译成“兆”。在中国大陆官方的《新华字典》中，“兆”的定义是“①百万②古代指万亿”。
3. Stewart, Ian. Infinity: A Very Short Introduction illustrated. Oxford University Press. 2017: 20 [2021-02-10]. ISBN 978-0-19-875523-4. （原始内容存档于2020-11-06）.  Extract of page 20 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
4. 徐品方 张红. 数学符号史. 科学出版社. ISBN 978-7-03-017017-0 （中文（中国大陆））.