列维-奇维塔联络

列维-奇维塔联络（Levi-Civita connection），在黎曼几何中， 是切丛上的无挠率联络，它保持黎曼度量(或伪黎曼度量)不变。因意大利数学家图利奥·列维-奇维塔而得名。

黎曼几何基本定理表明存在唯一联络满足这些属性。

在黎曼流形和伪黎曼流形的理论中，共变导数一词经常用于列维-奇维塔联络。联络的坐标空间的表达式称为克里斯托费尔符号。

形式化定义

设 ${\displaystyle (M,g)}$ 为一黎曼流形（或伪黎曼流形），则仿射联络 ${\displaystyle \nabla }$ 在满足以下条件时是列维-奇维塔联络。

1. 无挠率：也就是，对任何向量场 ${\displaystyle X,Y}$ 我们有 ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$，其中 ${\displaystyle [X,Y]}$ 是向量场 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 的李括号。

1. 与度量相容：也就是,对任何向量场 ${\displaystyle X,Y,Z}$我们有 ${\displaystyle Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$，其中 ${\displaystyle Xg(Y,Z)}$ 表示函数 ${\displaystyle g(Y,Z)}$ 沿向量场 ${\displaystyle X}$ 的导数。

沿曲线的导数

列维-奇维塔联络也定义了一个沿曲线的导数，通常用 ${\displaystyle D}$ 表示。

给定一个在 ${\displaystyle (M,g)}$ 上的光滑曲线 ${\displaystyle \gamma }$和${\displaystyle \gamma }$ 上的一个向量场 ${\displaystyle V}$，其导数定义如下

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$

参见条目

• 埃雷斯曼联络
• 嘉当联络
• 仿射联络
• 曲率形式

外部链接

• MathWorld: Levi-Civita Connection （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• PlanetMath: Levi-Civita Connection