Dãy Cauchy

(a) Đồ thị của một dãy Cauchy được tô màu xanh, biểu diễn theo . Nếu không gian chứa dãy là đầy đủ thì dãy này có giới hạn.
(b) Dãy này không phải là dãy Cauchy. Các phần tử trong dãy không tiến đến gần nhau tùy ý khi giá trị n tăng dần.

Trong toán học, dãy Cauchy (phát âm tiếng Pháp: ​[koʃi]; tiếng Anh: /ˈkʃ/ KOH-shee), được đặt tên theo nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, là dãy mà các phần tử tiến đến gần nhau tùy ý khi dãy tiếp tục.[1] Chính xác hơn, cho bất cứ khoảng cách nhỏ nào, hầu như tất cả các phần tử trong dãy ngoại trừ hữu hạn một số phần tử ra có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn khoảng cách đã cho.

Điều kiện phần tử đứng sau gần tùy ý với phần tử ngay trước đó không phải điều kiện đủ. Ví dụ chẳng hạn, trong dãy căn bậc hai của các số tự nhiên: hai phần tử liên tiếp đó gần với nhau: Tuy nhiên, khi chỉ số n lớn, các phần tử có thể lớn tùy ý. Do đó với bất kỳ chỉ số n và khoảng cách d, tồn tại chỉ số m đủ lớn sao cho (Thật ra chỉ cần là đủ.) Bởi vậy, bất kể dãy chạy tới đâu, các phần tử còn lại không bao giờ tiến gần đến nhau; do đó dãy này không phải dãy Cauchy.

Một ứng dụng của dãy Cauchy nằm trong không gian mêtric đầy đủ (không gian mà các dãy Cauchy trong đó hội tụ đến một giá trị nào đó), điều kiện cho hội tụ chỉ dựa trên các phần tử trong dãy, ngược lại với định nghĩa hội tụ dùng cả giá trị hội tụ và các phần tử trong dãy. Ta thường lợi dụng tính chất này cho các thuật toán trong lý thuyết và áp dụng.

Dạng tổng quát của các dãy Cauchy trong không gian đều tồn tại dưới dạng bộ lọc Cauchymạng Cauchy.

Trong số thực

Dãy của các số thực được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số thực dương tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi số tự nhiên trong đó thanh dọc đứng ký hiệu cho giá trị tuyệt đối. Tương tự như vậy ta có thể định nghĩa cho dãy các số hữu tỉ hoặc dãy các số phức. Cauchy đưa ra điều kiện hiệu phải nhỏ vô cùng với mọi cặp số tự nhiên m, n.

Với mọi số thực r, dãy biểu diễn bị cắt của r tạo thành dãy Cauchy. Ví dụ, khi dãy số được viết như sau: (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). Phần tử thứ m và phần tử thứ n chỉ cách nhau tối đa trong đó m < n, và khi m lớn, giá trị này càng nhỏ hơn bất kỳ giá trị cho trước

Mô đun hội tụ Cauchy

Nếu là dãy số trong tập thì mô đun hội tụ Cauchy cho dãy số là hàm từ tập các số tự nhiên tới chính nó, sao cho với mọi số tự nhiên và số tự nhiên

Các dãy đi cùng với mô đun hội tụ Cauchy là dãy Cauchy. Sự tồn tại mô đun hội tụ Cauchy được suy ra từ tính xếp thứ tự tốt của các số tự nhiên (gọi là số nhỏ nhất trong định nghĩa của dãy Cauchy, đặt ). SỰ tồn tại của mô đun cũng suy ra được từ nguyên lý chọn phụ thuộc,nguyên lý này là dạng yếu hơn của tiên đề chọn, thậm chí ta có thể suy ra từ điều kiện còn yếu hơn được gọi là AC00. Dãy Cauchy chính quy là các dãy đi với mô đun cho trước hội tụ (thường thì hoặc ).

Trong không gian mêtric

Bởi định nghĩa của dãy Cauchy chỉ bao gồm duy nhất khái niệm mêtric, dễ tổng quát định nghĩa này sang cho bất cứ không gian mêtric X. Để làm vậy, giá trị tuyệt đối được thay bằng khoảng cách (trong đó d được gọi là mêtric) giữa

Nói chính xác, cho không gian mêtric dãy là dãy Cauchy, nếu với số thực dương tồn tại số nguyên dương sao cho với mọi số tự nhiên khoảng cách

Nhìn qua, việc các phần tử trong dãy càng tiến đến gần nhau khi các giá trị tăng dần có vẻ gợi ý rằng dãy này có giới hạn nằm trong không gian Song, giá trị giới hạn chưa chắc đã nằm trong X: tính chất của không gian mà tất cả các dãy Cauchy trong đó đều hội tụ được gọi là tính đầy đủ.

Tính đầy đủ

Không gian mêtric (X, d) mà mọi dãy Cauchy trong không gian hội tụ đến một giá trị nằm trong X được gọi là không gian mêtric đầy đủ.

Các ví dụ

Không gian các số thực đầy đủ dưới mêtric của giá trị tuyệt đối, và một trong những cách tiêu chuẩn để xây số thực bao gồm dãy Cauchy của các số hữu tỉ.

Một loại ví dụ khác là không gian Xmêtric rời rạc (trong không gian đó, bất cứ hai phần tử nào khác nhau thì đều có khoảng cách bằng 1).

Ví dụ không phải: số hữu tỉ

Không gian của các số hữu tỉ không đầy đủ (cho mêtric định nghĩa):
Có các dãy số hữu tỉ hội tụ (trong ) đến các giá trị vô tỉ; nghĩa là các dãy Cauchy này không hội tụ đến giá trị thuộc Hơn nữa, nếu x là số vô tỉ, thì dãy số (xn), với phần tử thứ n là biểu diễn n chữ số của x, là dãy Cauchy có giới hạn là số vô tỉ x. Ngoài ra còn có các ví dụ khác về dãy các số hữu tỉ hội tụ về số vô tỉ:

  • Dãy số định nghĩa bởi bao gồm các số hữu tỉ (1, 3/2, 17/12,...) là dãy các số hữu tỉ nhưng giá trị hội tụ của nó là căn bậc hai của hai, để chứng minh xem phương pháp Babylonian cho tính căn bậc hai.
  • Dãy của các phân số của các số Fibonacci liên tiếp nếu có hội tụ thì dãy phải hội tụ đến giá trị thỏa mãn mà không có số hữu tỉ nào thỏa mãn được. Nếu ta coi đây là dãy các số thực thì dãy này hội tụ đến giá trị hay còn gọi là tỷ lệ vàng, giá trị này là số vô tỉ.
  • Các giá trị của hàm mũ , hàm sin và cosin, exp(x), sin(x), cos(x), được biết là số vô tỉ cho mọi số hữu tỉ nhưng mỗi hàm có thể định nghĩa là giới hạn của một dãy Cauchy hữu tỉ, sử dụng chuỗi Maclaurin chẳng hạn.

Ví dụ không phải: khoảng mở

Khoảng mở trong tập các số thực cùng với mêtric tầm thường của không phải là không gian đầy đủ: dãy số nằm trong đó là dãy Cauchy (cho bất cứ cận tất cả các phần tử thỏa mãn đều nằm trong khoảng ), tuy nhiên giá trị giới hạn của dãy không nằm trong — 'giới hạn' của nó, số 0, không nằm trong không gian

Các tính chất khác

  • Tất cả các dãy hội tụ (có giới hạn s) là dãy Cauchy, bởi cho bất kỳ số thực dương , khi vượt qua một điểm cố định nào đó, mọi phần tử trong dãy đều nằm trong khoảng cách của s, do đó bất cứ hai phần tử trong dãy đều cách nhau tối đa .
  • Trong bất cứ không gian mêtric nào, dãy Cauchy bị chặn (bởi cho một số N, tất cả các phần tử từ phần tử thứ N trở đi đều cách nhau 1, và nếu M là khoảng cách lớn nhất giữa và bất cứ các phần tử nào cho tới phần tử thứ N, thì không có cặp phần tử nào trong dãy có khoảng cách lớn hơn đến ).
  • Trong bất cứ không gian mêtric nào, dãy Cauchy nào có dãy con của nó hội tụ đến s thì chính nó cũng hội tụ đến giới hạn s, bởi: cho bất cứ số thực r > 0, khi qua một số điểm cố định nào đó trong dãy gốc, mọi phần tử trong dãy con đều nằm trong khoảng cách r/2 của s, và bất cứ hai phần tử trong dãy gốc đều nằm trong khoảng cách r/2 của nhau, do đó mọi phần tử trong dãy đều nằm trong khoảng cách r của s.

Hai tính chất cuối, cùng với định lý Bolzano–Weierstrass, đưa ra bài chứng minh cho tính đầy đủ của số thực, có liên hệ gần với định lý Bolzano–Weierstrass và định lý Heine–Borel. Mọi dãy Cauchy đều bị chặn, do đó theo định lý Bolzano–Weierstrass trong dãy sẽ có dãy con hội tụ, từ đó suy ra dãy đó cũng sẽ hội tụ. Cách chứng minh này có bao gồm việc sử dụng tiên đề cận trên nhỏ nhất. Một hướng giải khác được nhắc ở trên là xây dựng các số thực bằng hoàn thiện không gian các số hữu tỉ.

Nếu là ánh xạ liên tục đều giữa không gian mêtric MN và (xn) là dãy Cauchy trong M, thì là dãy Cauchy trong N. Nếu là dãy Cauchy trong số hữu tỉ, số thực hoặc số phức, thì tổng và tích cũng là dãy Cauchy.

Tham khảo

  1. ^ Lang 1992.

Liên kết ngoài

Read other articles:

Wendel Bollman Wendel Bollman (January 21, 1814 – 1884) was an American self-taught civil engineer, best known for his iron railway bridges. Only one of his patented Bollman truss bridges survives, the Bollman Truss Railroad Bridge in Savage, Maryland. The Wells Creek Bollman Bridge near Meyersdale, Pennsylvania is also standing, although that bridge uses the Warren truss system. Bollman Truss Railroad Bridge at Savage, Maryland in 1970 Early life and career Bollman was born in Baltimore, Mary…

Core ecoregion of Japan Taiheiyo evergreen forestsNametoko Ravine in Ashizuri-Uwakai National ParkEcologyRealmPalearcticBiometemperate broadleaf and mixed forestsBordersNihonkai evergreen forestsNihonkai montane deciduous forests,Taiheiyo montane deciduous forestsGeographyArea135,819 km2 (52,440 sq mi)CountryJapanConservationConservation statusCritical/endangeredProtected23,487 km² (17%)[1] The Taiheiyo evergreen forests is a temperate broadleaf forest ecoregion of Japan.…

Peta menunjukkan lokasi Luba. Luba adalah munisipalitas yang terletak di provinsi Abra, Filipina. Pada tahun 2011, munisipalitas ini memiliki populasi sebesar 6.911 jiwa atau 1.316 rumah tangga.[1] Pembagian wilayah Luba terbagi menjadi 8 barangay, yaitu: Barangay Penduduk (2007) Ampalioc 1,127 Barit 589 Gayaman 1,028 Lul-luno 394 Luzong 893 Nagbukel-Tuquipa 573 Poblacion 1,100 Sabnangan 659 Referensi ^ Local Governance Performance Management System. Diarsipkan dari versi asli tanggal 20…

Sepiring Osmeridae Pond smelt (Hypomesus olidus)TaksonomiKerajaanAnimaliaFilumChordataKelasActinopteriOrdoOsmeriformesFamiliOsmeridae Jordan, 1923 GeneraAllosmerus Hypomesus Mallotus Osmerus Spirinchus Thaleichthyslbs Sepiring atau smelt adalah keluarga ikan kecil, Osmeridae, ditemukan di samudra Atlantik Utara dan Pasifik Utara, serta sungai, sungai kecil, dan danau di Eropa, Amerika Utara, dan Asia Timur Laut. Beberapa spesies sepiring umum ditemukan di Danau Besar Amerika Utara, dan di danau …

منتخب جمهورية التشيك لكرة السلة للسيدات جمهورية التشيك التصنيف 12 ▼ 6 (1 أكتوبر 2018)[1] انضم للاتحاد الدولي 1955 منطفة فيبا الاتحاد الأوروبي لكرة السلة الاتحاد الوطني إتحاد التشيك لكرة السلة المدرب لوبور بلازيك البلد جمهورية التشيك الألعاب الأولمبية المشاركة 3 كأس العالم لكر…

Language GuramalumNative toPapua New GuineaRegionNew IrelandExtinctca. 2000 (3–4 cited 1987)[1]Language familyAustronesian Malayo-PolynesianOceanicNew IrelandPatpatar–TolaiGuramalumLanguage codesISO 639-3grzGlottologgura1254ELPGuramalumGuramalum is classified as Critically Endangered by the UNESCO Atlas of the World's Languages in Danger Guramalum is a presumed extinct[2] Oceanic language spoken on New Ireland in Papua New Guinea. References ^ Guramalum at Ethnologue (18…

Alexandra Stan discographyStan performing at the Austrian Sports Personality of the Year event in 2011Studio albums5Compilation albums1Video albums1Music videos43EPs3Singles32Remix albums2As featured artist15Promotional singles11 Romanian singer Alexandra Stan has released five studio albums, a reissue album, three extended plays, one compilation album, two video albums, two remix albums, 47 singles (including 15 as a featured artist) and 11 promotional singles. Stan's career began in 2009, when…

هيبوكلوريت الصوديوم هيبوكلوريت الصوديوم هيبوكلوريت الصوديوم هيبوكلوريت الصوديوم الاسم النظامي (IUPAC) هيبوكلوريت الصوديوم أسماء أخرى تحت كلوريت الصوديوم، ماء جافيلAntiforminBleachChloride of sodaIn dilution:Carrel-Dakin solutionModified Dakin's solutionSurgical chlorinated soda solution المعرفات رقم CAS 7681-52-9 Y بوب كيم (PubChem) 236657…

River in Queensland, AustraliaBulimba CreekDoboy Creek, Doughboy CreekBulimba Creek at Mansfield, 2014Location of the Bulimba Creek mouth in QueenslandEtymologyAboriginal: Boolimbah meaning a place of the magpie-lark[1]LocationCountryAustraliaStateQueenslandRegionSouth East QueenselandCityBrisbanePhysical characteristicsSourceMount Gravatt via Bulimba Creek West [dubious – discuss] • locationKuraby • coordinates27°32′48″S 153°…

Carlos Lamarca Carlos Lamarca (date inconnue). Données clés Naissance 23 octobre 1937 Rio de Janeiro Décès 17 avril 1971 (à 33 ans) Ipupiara (Bahia) Nationalité brésilienne Profession militaire (capitaine) Activité principale guérilla (menée contre la dictature militaire) Formation Académie militaire des Agulhas Negras à Resende Distinctions promotion posthume au grade de colonel (2007) Famille Maria Pavan (épouse), deux enfants modifier Carlos Lamarca (Rio de Janeiro, 1937 —…

System of traditional medicine originating in southern India This article is part of a series onAlternative medicine General information Alternative medicine History Terminology Alternative veterinary medicine Quackery (health fraud) Rise of modern medicine Pseudoscience Antiscience Skepticism Scientific Therapeutic nihilism Fringe medicine and science Acupressure Acupuncture Alkaline diet Anthroposophic medicine Apitherapy Applied kinesiology Aromatherapy Association for Research and Enlightenm…

International relations theory This article is about an international relations theory. For dependency theory in linguistics, see Dependency grammar. For the database theory, see Dependency theory (database theory). For dependency theory in media, see Media system dependency theory. Part of a series aboutImperialism studies Theories Dependency theory Intercommunalism Neo-Gramscianism Neocolonialism Social imperialism Super-imperialism Three Worlds Theory Ultra-imperialism World-systems theory Co…

Neil Etheridge Etheridge setelah promosi Cardiff City pada 2018Informasi pribadiNama lengkap Neil Leonard Dula Etheridge[1]Tanggal lahir 7 Februari 1990 (umur 34)Tempat lahir Enfield, London, InggrisTinggi 1,91 m (6 ft 3 in)Posisi bermain Penjaga gawangInformasi klubKlub saat ini Cardiff City F.C.Nomor 1Karier junior2003–2006 Chelsea2006–2008 FulhamKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2008–2014 Fulham 0 (0)2008–2009 → Leatherhead (pinjaman) 1 (0)2011 → Char…

Ni-kiNama asal西村 力LahirNishimura Riki9 Desember 2005 (umur 18)Okayama, JepangKebangsaanJapaneseNama lainNi-kiWarga negaraJaponPekerjaanpenyanyiDikenal atasBeing a singer of the band EnhypenKarier musikGenreK-popInstrumenVokalTahun aktif2020–sekarangArtis terkaitEnhypen Nishimura Riki (Hangul: 니시무라 리키; Kanji: 西村 力; lahir 9 Desember 2005) atau lebih dikenal sebagai Ni-ki adalah penyanyi asal Jepang yang merupakan anggota dari boy band Enhypen. Kari…

Submarine of the United States Bream (SS-243) is seen here on 1 January 1962 off the coast of Hawaii, in hunter-killer submarine (SSK) configuration. The fairwater has been streamlined and all guns removed. Also, she has been fitted with an enlarged sonar dome on her new bow, blunt for improved performance while dived. History United States BuilderElectric Boat Company, Groton, Connecticut[1] Laid down5 February 1943[1] Launched17 October 1943[1] Sponsored byMrs. Wreford …

Peta menunjukan lokasi Gamu Data sensus penduduk di Gamu Tahun Populasi Persentase 199522.765—200025.9012.81%200727.4790.82% Gamu adalah munisipalitas yang terletak di provinsi Isabela, Filipina. Pada tahun 2010, munisipalitas ini memiliki populasi sebesar 29.052 jiwa atau 6.362 rumah tangga. Pembagian wilayah Secara administratif Gamu terbagi menjadi 16 barangay, yaitu: Barcolan Buenavista Dammao Furao Guibang Lenzon Linglingay Mabini Pintor District I (Pob.) District II (Pob.) District III (…

Fungsi zeta Riemann ζ(z) digambarkan dengan pewarnaan domain.[1] Pole di z = 1 {\displaystyle z=1} dan dua akar di garis kritis. Fungsi zeta Riemann atau fungsi zeta Euler–Riemann adalah fungsi variabel kompleks, dilambangkan dengan huruf Yunani ζ {\displaystyle \zeta } (zeta), yang dirumuskan sebagai berikut ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac …

阿瓜斯福莫萨斯Águas Formosas市镇阿瓜斯福莫萨斯在巴西的位置坐标:17°04′55″S 40°56′09″W / 17.081944444444°S 40.935833333333°W / -17.081944444444; -40.935833333333国家巴西州米纳斯吉拉斯州面积 • 总计817.727 平方公里(315.726 平方英里)人口 • 總計18,518人 • 密度22.6人/平方公里(58.7人/平方英里) 阿瓜斯福莫萨斯(葡萄牙语:Águas Formosas…

French middle-distance runner Baptiste MischlerBaptiste Mischler in 2018Personal informationBorn (1997-11-23) 23 November 1997 (age 26)Haguenau, FranceEducationINSA StrasbourgHeight1.83 m (6 ft 0 in)[1]Weight62 kg (137 lb)SportSportAthleticsEvent(s)800 m, 1500 mClubUnitas BrumathCoached bySteinmetz Hubert Baptiste Mischler (born 23 November 1997) is a French middle-distance runner.[2] He won the silver medal in the 1500 metres at the 2015 European Ju…

22nd Lieutenant Governor of British Columbia This article is about Walter Stewart Owen, the Canadian lawyer. For the Scottish translator, see Walter Owen. The HonourableWalter Stewart OwenOC, QC22nd Lieutenant-Governor of British ColumbiaIn officeFebruary 13, 1973 – May 18, 1978MonarchElizabeth IIGovernors GeneralRoland Michener Jules LégerPremierDave BarrettBill BennettPreceded byJohn Robert NicholsonSucceeded byHenry Pybus Bell-Irving30th President of the Canadian Bar AssociationIn…