Об'єднання довільного набору множин з Γ також належить Γ.
Перетин скінченного набору множин з Γ також належить Γ.
Тоді множина Γ називається топологією над множиною X, а елементи X є точками. Множини в Γ називають відкритими, їхнє доповнення відповідно замкненими множинами.
Поняття топологічного простору успішно застосовується у багатьох розділах сучасної математики як спільне, об'єднувальне поняття. Вивченням топологічних просторів займається топологія.
Нехай над деякою множиною X визначено різні топології Γ1 та Γ2. Якщо будь-яка множина з топології Γ1 також належить Γ2, то кажуть, що топологія Γ1 грубша за топологію Γ2, відповідно, топологія Γ2 тонша за топологію Γ1.
Найтоншою топологією на множині X є топологію, в якій всі множини є відкритими (тобто топологію яка складається із усіх підмножин множини X). Така топологія називається дискретною.
Топології найчастіше визначаються за допомогою баз. Підмножина множини відкритих множин топології називається базою топології, якщо кожна відкрита множина є об'єднанням елементів множини .
Наприклад, множина відкритих відрізків дійсної прямої є базою стандартної топології. Коли говорять про відкриті та замкнені підмножини дійсної прямої, як правило мають на увазі цю топологію.
Приклади
Будь-який евклідів простір є топологічним простором. Базою топології для них можна обрати множину відкритих куль, або відкритих кубів.
Якщо взяти множину відрізків вигляду на дійсній прямій , то ми отримаємо «топологію стрілки».
Неперервні функції
Функціяf : X1→ X2, де (X1, Γ1) та (X2, Γ2) — топологічні простори називається неперервною, якщо прообразом будь-якої відкритої множини в (X2, Γ2) є відкрита множина в (X1, Γ1) . Можна довести що у випадку метричних просторів таке означення збігається з означенням неперевності функції в термінах . Інтуїтивно це можна представити як відсутність «дірок», «різких коливань» функції. Гомеоморфізмом називають неперевне бієктивне відображення, обернене до якого відображення також є неперевним. Два простори називаються гомеоморфними, якщо між ними існує гомеоморфмізм. З точки зору топології, гомеоморфні простори є ідентичними за властивостями.
Якщо (Х,Г) є топологічним простором і А — будь-яка підмножина Х, можна
зробити з А топологічний простір, означаючи топологію на А, яка складається з всіх підмножин А які можуть бути виражені як перетин елементів Г з А,
. називається індукованою (відносною) топологією.
Топологія добутку
Якщо (X1, Γ1) і (X2, Γ2) — топологічні простори, то можна зробити добуток топологічним простором, означаючи топологію Γ на ньому як таку що містить всі підмножини Х1×Х2 які можуть бути виражені у формі об'єдання множин форми . Г називають топологією добутку. Використовуючи стандартну топологію для можна з допомогою цього означення побудувати топології на , причому ми отримаємо таку ж топологію як і при означенні через об'єдання відкритих куль.