Функція Гільберта, ряд Гільберта і многочлен Гільберта градуйованої комутативною алгебри і скінченнопородженого градуйованого модуля — три тісно пов'язані поняття, які дозволяють виміряти ріст розмірності однорідних компонент алгебри.
Ці поняття були поширені на фільтровані алгебри і градуйовані або фільтровані модулі над цими алгебрами, а також на когерентні пучки над проективними схемами.
Многочлен Гільберта і ряд Гільберта відіграють важливу роль в обчислювальній алгебричній геометрії, оскільки вони надають найпростіший відомий спосіб обчислення розмірності і степеня алгебричного многовиду, заданого явними поліноміальними рівняннями.
Означення та основні властивості
Адитивні функції на скінченнопороджених градуйованих модулях
Нехай — градуйоване кільце Нетер. Тоді кільце кільце є нетеровим, і -алгебра S є породженою однорідними елементами додатних степенів Нехай — скінченнопороджений градуйований S-модуль. Він є породженим скінченною кількістю однорідних елементів. Також довільний модуль є скінченнопородженим -модулем.
Нехай — деяка адитивна функція зі значеннями у множині , визначена на класі всіх скінченнопороджених -модулів. Адитивність у даному випадку означає, що для довільної короткої точної послідовності:
виконується рівність
Рядом Гільберта — Пуанкаре для градуйованого модуля M і адитивної функції називається степеневий ряд:
Сума ряду Гільберта — Пуанкаре є раціональною функцією
де Q — многочлен з цілими коефіцієнтами.
Якщо S є породженим елементами степеня 1, то сума ряду Гільберта — Пуанкаре може бути переписана як
де P — многочлен з цілими коефіцієнтами.
У цьому випадку розклад цієї раціональної функції в ряд має вигляд
де біноміальний коефіцієнт дорівнює при і нулю в іншому випадку.
Якщо
то коефіцієнтом при в є
При член з індексом i в цій сумі є многочленом від n степеня зі старшим коефіцієнтом
Це показує, що існує єдиний многочлен з раціональними коефіцієнтами, що дорівнює при досить великих n. Цей многочлен називається многочленом Гільберта.
Скінченнопороджені градуйовані алгебри над кільцями Артіна
Нехай при попередніх умовах кільце є кільцем Артіна (зокрема, у важливому частковому випадку полем). Оскільки кожен модуль є скінченнопородженим -модулем, то є нетеровим і артіновим модулем. Звідси випливає, що довжина є скінченним цілим числом. У випадку, якщо є полем то довжина є рівною розмірності векторного простору над . Також довжина модуля є адитивною функцією.
Функція : називається функцією Гільберта градуйованого модуля Вона відповідно задає ряд Гільберта — Пуанкаре, який у цьому випадку переважно називають рядом Гільберта і многочлен Гільберта.
Ряди і многочлени Гільберта — Самюеля
Одним із найважливіших часткових випадків у комутативній алгебрі є випадок фільтрацій для локальних нетерових кілець.
Нехай R — локальне нетерове кільце із максимальним ідеалом а — деякий -примарний ідеал. Тоді кільце буде артіновим. Нехай M — скінченнопороджений R-модуль і
Нехай Тоді G(R) є градуйованою R/I-алгеброю скінченно породженою де елементи породжують ідеал I. G(M) є скінченнопородженим G(R)-модулем.
Відповідно для G(M) всі довжини є скінченними і можна ввести відповідну функцію Гільберта, ряд Гільберта і заданий ними многочлен Гільберта.
Із скінченності усіх випливають також скінченності довжин Визначені при цьому функція і ряд називаються функцією Гільберта — Самюеля і рядом Гільберта — Самюеля. Функція Гільберта — Самюеля теж є поліноміальною і відповідний многочлен називається многочленом Гільберта — Самюеля. Його степінь не залежить від вибору -примарного ідеалу.
Градуйовані алгебри і кільця многочленів
Для кільця многочленів від змінних значення функції Гільберта є рівним розмірності простору однорідних многочленів степеня k. Це значення записується через біноміальні коефіцієнти:
Дана функція є очевидно поліноміальною степеня n - 1 від змінної k і многочлен Гільберта записується теж як
Ряд Гільберта у даному випадку задає раціональну функцію
Нехай тепер — однорідний многочлен степеня m і Тоді функція Гільберта є рівною
Многочлен Гільберта у цьому випадку є рівним:
Степінь многочлена у цьому випадку є рівною n - 2, а старший коефіцієнт —
Кільця многочленів і їх фактори за однорідними ідеалами є типовими прикладами градуйованих алгебр. Навпаки, якщо S — градуйована алгебра над полем K, породжена n однорідними елементами g1,...,gn степеня 1, то відображення, яке переводить X i в gi, визначає гомоморфізм градуювальних кілець з на S. Його ядро — однорідний ідеал I, і це визначає ізоморфізм градуйованих алгебр між і S.
Таким чином, градуйовані алгебри, породжені однорідними елементами степеня 1 є ізоморфними факторкільцям кілець многочленів за однорідними ідеалами.
Властивості ряду Гільберта
Фактор по елементу, який не є дільником нуля
Нехай A — градуйована алгебра над полем K і f — однорідний елемент A степеня d, який не є дільником нуля. Тоді
Це випливає з адитивності для точної послідовності
де стрілка з буквою f — множення на f, і — градуйований модуль , отриманий з A зміщенням степенів на d, так що множення на f має степінь 0. зокрема ,
Степінь проективного многовида і теорема Безу
Ряд Гільберта дозволяє порахувати степінь алгебричного многовида як значення в 1 чисельника ряду Гільберта. В такий спосіб можна також отримати просте доведення теореми Безу.
Розглянемо проективну алгебричну множину V розмірності більшої нуля, задану як множину нулів однорідного ідеалу , де k — поле, і нехай . Якщо f — однорідний многочлен степеня , який не є дільником нуля в R, точна послідовність
показує, що
Розглядаючи чисельники, отримуємо доведення наступного узагальнення теореми Безу:
Якщо f — однорідний многочлен степеня , який не є дільником нуля в R, то степінь перетину V з гіперповерхнею, заданою f, дорівнює добутку степеня V на .
Більш геометрично це можна переформулювати так: якщо проективна гіперповерхня степеня d не містить жодної компоненти алгебричної множини степеня δ, то степінь їх перетину дорівнює dδ .
Звичайна теорема Безу легко виводиться з цього твердження, якщо починати з гіперповерхні і послідовно перетинати її з n-1 іншою гіперповерхнею.
Див. також
Література