Ґратка E8

Ґратка Е₈ або ґратка Коркінас — Золотарьова — коренева ґратка групи ${\displaystyle E_{8}}$. Вона реалізує в розмірності 8:

• найбільше можливе контактне число;
• найщільніше пакування куль.

Зазвичай позначається ${\displaystyle E_{8}}$, як і група ${\displaystyle E_{8}}$.

Історія

Існування цієї ґратки довів Сміт^[en] 1867 року[1]. Першу явну побудову надали Коркін^[ru] і Золотарьов^[ru] 1873 року[2].

Опис

Ґратку ${\displaystyle E_{8}}$ можна реалізувати як дискретну підгрупу ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ з векторів, що мають такий набір властивостей:

• всі координати будь-якої точки — або цілі числа, або напівцілі числа (тобто ціле число з половиною);
• сума всіх восьми координат є парним цілим числом.

Інакше кажучи,

${\displaystyle E_{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

Неважко перевірити, що сума та різниця будь-яких двох векторів з ${\displaystyle E_{8}}$ міститься в ${\displaystyle E_{8}}$, отже ${\displaystyle E_{8}}$ є підгрупою ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$.

Ґратку ${\displaystyle E_{8}}$ можна також реалізувати як множину всіх точок в ${\displaystyle E'_{8}}$ у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ таких, що

• всі координати — цілі числа з парною сумою або
• всі координати — напівцілі з непарною сумою.

Інакше кажучи

${\displaystyle E_{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5}\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

або

${\displaystyle E_{8}'={\biggl \{}(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 0({\mbox{mod }}2){\biggr \}}\cup {\biggl \{}(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2){\biggr \}}.}$

Ґратки ${\displaystyle E_{8}}$ і ${\displaystyle E'_{8}}$ ізоморфні, одну можна отримати з іншої, змінивши знак однієї з координат.

Властивості

Характеризація

Ґратку ${\displaystyle E_{8}}$ можна охарактеризувати як єдину ґратку в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$, що має такі властивості:

• Це унімодулярна ґратка, тобто
  • з її базису можна скласти матрицю ${\displaystyle 8\times 8}$ із визначником ±1.
  • Інакше кажучи, об'єм фундаментальної області цієї ґратки дорівнює 1.
  • Еквівалентно, ${\displaystyle E_{8}}$ є самодвоїстою, тобто вона збігається зі своєю оберненою ґраткою.
• Ця ґратка парна, тобто норма будь-якого її вектора — парне ціле число.

Парні унімодулярні ґратки існують тільки в розмірностях, кратних 8. У розмірності 16 таких ґраток дві: ${\displaystyle E_{8}\oplus E_{8}}$ і ${\displaystyle D_{16}^{+}}$ (остання будується аналогічно ${\displaystyle E_{8}}$ у розмірності 16). У розмірності 24 існує 24 такі ґратки, найважливішою з них є ґратка Ліча.

Базис

Один із можливих базисів для ${\displaystyle E_{8}}$ задається стовпцями такої верхньотрикутної матриці

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&1&-1&0&1/2\\0&0&0&0&0&1&-1&1/2\\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{smallmatrix}}\right].}$

Тобто ${\displaystyle E_{8}}$ складається з усіх цілих лінійних комбінацій стовпців. Усі інші базиси виходять з одного множенням праворуч на матрицю GL(8, Z).

Мінімальна норма

Найкоротший ненульовий вектор ${\displaystyle E_{8}}$ має норму 2, всього ґратка містить 240 таких векторів. Ці вектори утворюють кореневу систему групи ${\displaystyle E_{8}}$. Тобто ґратка ${\displaystyle E_{8}}$ є кореневою ґраткою ${\displaystyle E_{8}}$. Будь-який вибір із 8 простих коренів дає базис ${\displaystyle E_{8}}$.

Фундаментальна область

Комірками Вороного ґратки ${\displaystyle E_{8}}$ є стільник ${\displaystyle 5_{21}}$^[en].

Група симетрій

Група симетрій ґратки в R^n визначається як підгрупа ортогональної групи O(n), яка зберігає ґратку. Група симетрій ґратки ${\displaystyle E_{8}}$ породжена відбиттями в гіперплощинах, ортогональних 240 кореням ґратки. Її порядок дорівнює

${\displaystyle |W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!.}$

Ця група містить підгрупу порядку 128 8!, що складається з усіх перестановок координат та парного числа змін знаків. Повна група симетрій породжується цією підгрупою та блоково-діагональною матрицею ${\displaystyle H_{4}\oplus H_{4}}$, де ${\displaystyle H_{4}}$ — матриця Адамара

${\displaystyle H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right].}$

Пакування куль

У задачі про пакування куль питається, як найщільніше упакувати без накладань кулі фіксованого радіуса в простір. У R^8 розміщення куль радіуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ у точках ґратки ${\displaystyle E_{8}}$ дає пакування найбільшої щільності, що дорівнює

${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367.}$

Те, що ця щільність найбільша для ґратчастих пакувань, було відомо давно[3]. Крім того, було відомо, що така ґратка єдина з точністю до подібності[4]. Марина Вязовська нещодавно довела, що це пакування є оптимальним навіть серед усіх пакувань[5].

Розв'язки задачі пакування куль відомі тільки в розмірностях 1, 2, 3, 8, і 24. Той факт, що розв'язки відомі в розмірностях 8 і 24, пов'язаний з особливими властивостями ґратки ${\displaystyle E_{8}}$ та її 24-вимірного аналога — ґратки Ліча.

Контактне число

У задачі про контактне число запитується, яка найбільша кількість куль фіксованого радіуса може торкнутися центральної кулі такого ж радіуса. У розмірності 8 відповідь — 240; таку конфігурацію можна отримати, якщо розмістити кулі в точках ґратки ${\displaystyle E_{8}}$ із мінімальною нормою. Це доведено 1979 року[6][7].

Розв'язки задачі про контактне число відомі тільки в розмірностях 1, 2, 3, 4, 8, і 24. Той факт, що розв'язки відомі в розмірностях 8 і 24, також пов'язаний із особливими властивостями ґратки ${\displaystyle E_{8}}$ та її 24-вимірного аналога — ґратки Ліча.

Тета-функція

Тета-функція ґратки Λ визначається як сума

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau >0.}$

Вона є голоморфною функцією на верхній півплощині. Крім того, тета-функція парної унімодулярної ґратки рангу ${\displaystyle n}$ є модульною формою ваги ${\displaystyle n/2}$.

З точністю до нормалізації є єдина модульна форма ваги 4: це ряд Ейзенштейна ${\displaystyle G_{4}(\tau )}$. Тобто тета-функція ґратки ${\displaystyle E_{8}}$ має бути пропорційною ${\displaystyle G_{4}(\tau )}$. Це дає

${\displaystyle \Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}}$

де ${\displaystyle \sigma _{3}(n)}$ є функцією дільників s ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$.

Звідси випливає, що число векторів норми ${\displaystyle 2n}$ у ґратках ${\displaystyle E_{8}}$ дорівнює ${\displaystyle 240\cdot }$(сума кубів дільників ${\displaystyle n}$). Це послідовність A004009 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS:

${\displaystyle \Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).}$

Тета-функцію ґратки ${\displaystyle E_{8}}$ можна записати в термінах тета-функцій Якобі:

${\displaystyle \Theta _{E_{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)}$

де

${\displaystyle \theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.}$

Код Гемінга

Код Гемінга ${\displaystyle H(8,4)}$ — це двійковий код довжини 8 і 4-го рангу; тобто, це 4-вимірний підпростір фінітного векторного простору (F₂)^8. Записавши елементи (F₂)^8 як 8-бітові цілі числа в шістнадцятковій системі, код ${\displaystyle H(8,4)}$ можна явно подати як

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Код ${\displaystyle H(8,4)}$ є самодвоїстим кодом типу II. Він має мінімальну вагу Гемінга 4; це означає, що будь-які два кодові слова відрізняються принаймні 4-ма бітами. Це найбільший двійковий код довжини 8 з такою властивістю.

За двійковим кодом ${\displaystyle C}$ довжини ${\displaystyle n}$ можна побудувати ґратку ${\displaystyle \Lambda }$, взявши множину векторів ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} ^{n}}$ таких, що ${\displaystyle x}$ збігається (за модулем 2) з кодовими словами із ${\displaystyle C}$. Часто зручно масштабувати ${\displaystyle \Lambda }$ з коефіцієнтом ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$,

${\displaystyle \Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\in C\right\}.}$

Застосування цієї конструкції до самодвоїстого коду типу II дає парну, унімодулярну ґратку. Зокрема, для коду Гемінга ${\displaystyle H(8,4)}$ отримуємо ґратку ${\displaystyle E_{8}}$.

Задача відшукання явного ізоморфізму між отриманою ґраткою і ґраткою ${\displaystyle E_{8}}$, визначеною вище, не цілком тривіальна.

Цілі октоніони

Ґратка ${\displaystyle E_{8}}$ використовується при визначенні цілих октоніонів аналогічно цілим кватерніонам.

Цілі октоніони, природно, утворюють ґратку в O. Ця ґратка подібна до ґратки ${\displaystyle E_{8}}$ із коефіцієнтом ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$. (Мінімальна норма у цілих октоніонах дорівнює 1, а не 2).

Цілі октоніони утворюють неасоціативне кільце.

Застосування

• 1982 року Фрідман побудував топологічний чотиривимірний многовид, званий ${\displaystyle E_{8}}$-многовидом, чия форма перетинів задається ґраткою ${\displaystyle E_{8}}$. Цей многовид є прикладом топологічного многовиду, який допускає гладку структуру і навіть тріангульовний.
• У теорії струн гетеротична струна — це своєрідний гібрид 26-вимірних бозонних струн і 10-вимірних суперструн. Для того, щоб теорія працювала правильно, 16 зайвих розмірностей мають бути компактифіковані парними унімодулярними ґратками рангу 16. Є дві такі ґратки: ${\displaystyle E_{8}\oplus E_{8}}$ і ${\displaystyle D_{16}^{+}}$ (побудована аналогічно ${\displaystyle E_{8}}$). Це приводить до двох версій гетеротичних струн, відомих як ${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$ та ${\displaystyle SO(32)}$.

Див. також

• Ґратка Ліча
• Група Лі Е ₈
• E8-многовид

Примітки

1. Smith, H. J. S. On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates // Proceedings of the Royal Society : journal. — 1867. — Vol. 16. — P. 197—208. — DOI:10.1098/rspl.1867.0036.
2. Korkine, A.; Zolotareff, G. Sur les formes quadratique positives // Mathematische Annalen. — 1877. — Vol. 6. — P. 366—389. — DOI:10.1007/BF01442795.
3. Blichfeldt, H. F. The minimum values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables // Mathematische Zeitschrift^[en] : journal. — 1935. — Vol. 39. — P. 1—15. — DOI:10.1007/BF01201341.
4. Vetčinkin (1980). Geometry of positive quadratic forms. Т. 152. Trudy Math. Inst. Steklov. с. 34—86. {{cite conference}}: |first3= з пропущеним |last3= (довідка)
5. Viazovska, Maryna (2017). The sphere packing problem in dimension 8. arXiv:1603.04246v2.
6. Levenshtein, V. I. On bounds for packing in n-dimensional Euclidean space // Soviet Mathematics Doklady : journal. — 1979. — Vol. 20. — P. 417—421.
7. Odlyzko, A. M.^[en]; Sloane, N. J. A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions // Journal of Combinatorial Theory : journal. — 1979. — Vol. A26. — P. 210—214. — DOI:10.1016/0097-3165(79)90074-8.

Література

• Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М. : МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 прим. — ISBN 978-5-94057-268-8.
• John Horton Conway; Sloane, Neil J. A. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — New York : Springer-Verlag, 1998. — ISBN 0-387-98585-9.
• John Horton Conway; Smith, Derek A. On Quaternions and Octonions. — Natick, Massachusetts : AK Peters, Ltd, 2003. — ISBN 1-56881-134-9. У розділі 9 обговорюються цілі октиніони та ґратка E₈.