Контактне число

Контактне число (іноді число Ньютона[1], у хімії відповідає координаційному числу[2]) — найбільша кількість куль одиничного радіуса, які можуть одночасно дотикатися до однієї такої самої кулі в n-вимірному евклідовому просторі (вважається, що кулі не проникають одна в одну, тобто об'єм перетину двох будь-яких куль дорівнює нулю).

Слід відрізняти контактне число від контактного числа на ґратці[3] — аналогічного параметра для найщільнішого регулярного пакування куль. Обчислення контактного числа в загальному випадку досі є нерозв'язаною математичною задачею.

Історія

В одновимірному випадку не більше двох відрізків одиничної довжини можуть дотикатися до такого ж відрізка:

У двовимірному випадку можна інтерпретувати задачу як знаходження найбільшого числа монет, що дотикаються до центральної. З малюнка видно, що можна розмістити до 6 монет:

Це означає, що ${\displaystyle N(2)\geqslant 6}$. З іншого боку, кожне дотичне коло відсікає на центральному колі дугу 60°, і ці дуги не перетинаються, отже ${\displaystyle N(2)\leqslant 360/60=6}$. Видно, що в даному випадку оцінки зверху і знизу збіглися і ${\displaystyle N(2)=6}$.

Приклад розташування 12 куль

У тривимірному випадку йдеться про кулі. Тут також легко побудувати приклад з 12 кулями, що дотикаються до центральної — вони розташовані у вершинах ікосаедра — тому ${\displaystyle N(3)\geqslant 12}$. Ця нижня оцінка була відома ще Ньютону.

Це розташування нещільне, між кулями будуть досить помітні зазори. Оцінка зверху стала причиною відомого спору між Ньютоном і Грегорі 1694 року. Ньютон стверджував, що ${\displaystyle N(3)=12}$, А Грегорі заперечував, що може статись, що можна розташувати і 13 куль. Він провів обчислення і з'ясував, що площа центральної кулі більше ніж у 14 разів перевищує площу проєкцій усіх дотичних куль, так що ${\displaystyle N(3)\leqslant 14}$. Якщо ж дозволити змінювати радіуси куль на 2 %, то виявляється можливим притулити до 14 куль.

Лише 1953 року в статті Шютте^[en] і ван дер Вардена[4] остаточно встановлено правоту Ньютона, попри відсутність у того суворого доведення.

У чотиривимірному випадку уявити собі кулі досить складно. Розміщення 24 чотиривимірних сфер навколо центральної було відоме давно^[джерело?]. Воно настільки ж правильне, як і в двовимірному випадку і є розв'язком одночасно й задачі про контактне число на ґратці. Це те саме розміщення, що й у цілих одиничних кватерніонів.

У явному вигляді на це розташування вказав у 1900 році Госсет[5]. Ще раніше його знайшли (в еквівалентній задачі) в 1872 році російські математики Коркін і Золотарьов[6][7]. Це розташування дало оцінку знизу ${\displaystyle N(4)\geqslant 24}$.

Спроби оцінити це число зверху привели до розвитку тонких методів теорії функцій, але не давали точного результату. Спочатку вдалося довести, що ${\displaystyle N(4)\leqslant 26}$, Потім вдалося знизити верхню межу до 25. У 2003 році російський математик Олег Мусін довів, що ${\displaystyle N(4)=24}$[8].

У розмірностях 8 і 24 точну оцінку отримано в 1970-і роки[9][10]. Доведення ґрунтується на рівності контактного числа і контактного числа на ґратці в цих розмірностях: ґратки E8 (для розмірності 8) і ґратки Ліча (для розмірності 24).

Відомі значення та оцінки

Нині точні значення контактних чисел відомі тільки для ${\displaystyle n\leq 4}$, А також для ${\displaystyle n=8}$ і ${\displaystyle n=24}$ . Для деяких інших значень відомі верхні і нижні оцінки.

Розмірність	Нижня межа	Верхня межа
1	2
2	6
3	12
4	24[8]
5	40	44[11]
6	72	78
7	126	134
8	240
9	306	364
10	500	554
11	582	870
12	840	1 357
13	1 154[12]	2 069
14	1 606	3 183
15	2 564	4 866
16	4 320	7 355
17	5 346	11 072
18	7 398	16 572
19	10 688	24 812
20	17 400	36 764
21	27 720	54 584
22	49 896	82 340
23	93 150	124 416
24	196 560

Застосування

Задача має практичне застосування в теорії кодування^[джерело?].

Див. також

• Щільне пакування рівних сфер
• Задача про пакування куль
• Відкриті математичні питання

Примітки

1. Яглом, И. М. [1] — Киев : Вища школа, 1975. — 84 с. Архівовано з джерела 28 червня 2020
2. Дж. Конвей, Н. Слоэн. [2] — М. : Мир, 1990. — Т. 1. — 415 с. — ISBN 5-03-002368-2. Архівовано з джерела 6 жовтня 2014 Архивированная копия. Архів оригіналу за 6 жовтня 2014. Процитовано 29 травня 2011. {{cite web}}: Недійсний |deadurl=unfit (довідка)
3. Контактні числа на ґратках: послідовність A001116 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
4. Schütte, K. and van der Waerden, B. L. Das Problem der dreizehn Kugeln // Math. Ann.. — 1953. — Т. 125, № 1 (15 January). — С. 325—334. — DOI:10.1007/BF01343127.
5. Gosset, Thorold. On the regular and semi-regular figures in space of n dimensions // Messenger of Mathematics^[en] : journal. — 1900. — Vol. 29 (15 January). — P. 43—48.
6. Korkine A., Zolotareff G. Sur les formes quadratiques positives quaternaires // Math. Ann.. — 1872. — Т. 5, № 4 (15 January). — С. 581—583. — DOI:10.1007/BF01442912. Рус. пер.: Золотарев Е. И. Полн. собр. соч. — Л. : Изд-во АН СССР, 1931. — С. 66—68.
7. Н. Н. Андреев, В. А. Юдин. Арфиметический минимум квадратичной формы и сферические коды // Математическое просвещение. — 1998. — № 2 (15 січня). — С. 133—140. Архівовано з джерела 3 березня 2022. Процитовано 31 грудня 2020.
8. Мусин О. Р. Проблема двадцати пяти сфер // Успехи математических наук. — Российская академия наук, 2003. — Т. 58, № 4(352) (15 января). — С. 153—154.
9. Левенштейн В. И. О границах для упаковок в n-мерном евклидовом пространстве // ДАН СССР. — 1979. — Т. 245 (15 січня). — С. 1299—1303.
10. A. M. Odlyzko, N. J. A. Sloane. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions // J. Combin. Theory Ser. A : journal. — 1979. — Vol. 26 (15 January). — P. 210—214. — DOI:10.1016/0097-3165(79)90074-8.
11. Hans D. Mittelmann and Frank Vallentin. [http://arxiv.org/abs/0902.1105 High-Accuracy Semidefinite Programming Bounds for Kissing Numbers] // Experimental Mathematics. — 2010. — Т. 19, № 2 (15 січня). — С. 174—178. Архівовано з джерела 11 серпня 2020. Процитовано 31 грудня 2020.
12. В. А. Зиновьев, Т. Эриксон. Новые нижние оценки на контактное число для небольших размерностей // Пробл. передачи информ.. — 1999. — Т. 35, № 4 (15 січня). — С. 3—11.

Посилання

• (рос.)Контактное число шаров и сферические коды [Архівовано 13 березня 2012 у Wayback Machine.]. Математические этюды.
• (рос.)Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Математика. — Издательский дом «Первое сентября», 2007. — № 9 (623) (15 січня).
• (рос.)Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Потенциал. — 2009. — № 6 (15 січня).
• (рос.)Арестов В. В., Бабенко А. Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. — 1997. — Т. 219 (15 січня). — С. 44—73. Архівовано з джерела 3 березня 2022. Процитовано 31 грудня 2020.