Циркулянтний граф

Граф Пелі 13-о порядку як приклад циркулянтного графа.

Корона з шістьма, вісьмома, і десятьма вершинами.

В теорії графів циркулянтним графом називається неорієнтований граф, який має циклічну групу симетрій, яка включає симетрію, при якій граф переводить вершину в будь-яку іншу вершину.

Еквівалентні визначення

Циркулянтні графи можуть бути визначені кількома еквівалентними способами[1]:

• Автоморфізм групи графа містить циклічну підгрупу, яка діє транзитивно на вершини графа.
• Граф має матрицю суміжності, що є циркулянтною матрицею.
• ${\displaystyle n}$ вершин графа можна пронумерувати числами від 0 до n− 1 таким чином, що якщо дві вершини з номерами ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ суміжні, то будь-які дві вершини з номерами ${\displaystyle z}$ і (z−x+y) modn теж суміжні.
• Граф можна намалювати (з можливими перетинами ребер) так, що його вершини лежать в кутах правильного багатокутника та будь-який поворот багатокутника в себе є симетрією малюнка (отримуємо той же малюнок).

Приклади

Будь-який цикл є циркулянтним графом, як і будь-яка корона.

Графи Пелі порядку ${\displaystyle n}$ (де ${\displaystyle n}$ — просте число, порівнянне з 1 по модулю 4) — це графи, в яких вершини є числами від 0 до n− 1 і дві вершини суміжні, якщо різниця відповідних чисел є квадратичним відрахуванням по модулю ${\displaystyle n}$. Внаслідок того, що присутність або відсутність ребра залежить лише від різниці номерів вершин по модулю ${\displaystyle n}$, будь-який граф Пелі є циркулянтним графом.

Будь-які драбини Мебіуса є циркулянтним графом, як і будь-який повний граф. Повний двочастковий граф є циркулянтним, якщо обидві його частини мають однакову кількість вершин.

Якщо два числа ${\displaystyle m}$ та ${\displaystyle n}$ взаємно прості, то m×n туровий граф (граф, що має вершину в кожній клітині шахової дошки m×n та ребра між будь-якими двома клітинами, якщо тура може перейти з однієї клітини на іншу за один хід) є циркулянтним графом. Це є наслідком того, що його симетрії містять як підгрупу циклічну групу . Як узагальнення цього випадку, декартів добуток графів між будь-якими циркулянтними графами з ${\displaystyle m}$ та ${\displaystyle n}$ вершинами дає внаслідок циркулянтний граф.[1]

Багато з відомих нижніх меж чисел Ремзі з'являються з прикладів циркулянтних графів, що мають маленькі максимальні кліки та маленькі максимальні незалежні множини.[2]

Конкретний приклад

Циркулянтний граф ${\displaystyle C_{n}^{s_{1},\ldots ,s_{k}}}$ з межами ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{k}}$ визначається як граф з ${\displaystyle n}$ вузлами, пронумерованими числами ${\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1}$ та кожний вузел ${\displaystyle i}$ суміжний з 2k вузлами ${\displaystyle i\pm s_{1},\ldots ,i\pm s_{k}}$ по модулю ${\displaystyle n}$.

• Граф ${\displaystyle C_{n}^{s_{1},\ldots ,s_{k}}}$ пов'язаний тоді і лише тоді, коли НСД${\displaystyle (n,s_{1},\ldots ,s_{k})=1}$.

• Якщо ${\displaystyle 1\leq s_{1}<\cdots <s_{k}}$ фіксовані цілі, то число остовних дерев ${\displaystyle t(C_{n}^{s_{1},\ldots ,s_{k}})=na_{n}^{2}}$, де ${\displaystyle a_{n}}$ задовольняє рекурентне співвідношення порядку ${\displaystyle 2^{s_{k}-1}}$.
• Зокрема, ${\displaystyle t(C_{n}^{1,2})=nF_{n}^{2}}$, де ${\displaystyle F_{n}}$ — n-е число Фібоначчі.

Самодоповняльні циркулянти

Самодоповняльний граф — це граф, в якому видалення наявних ребер та додавання відсутніх дає граф, ізоморфний вихідному. Наприклад, циклічний граф з п'ятьма вершинами самодоповняльний і є також циркулянтним. У більш загальному вигляді, будь-який граф Пелі є самодоповняльним циркулянтним графом.[3] Хорст Сакс^[en] показав, що якщо число ${\displaystyle n}$ має властивість, що будь-який простий дільник ${\displaystyle n}$ порівнюваний з 1 по модулю 4, то існує самодоповняльний циркулянтний граф з ${\displaystyle n}$ вершинами. Він висловив гіпотезу, що ця умова необхідна, тобто при інших значеннях ${\displaystyle n}$ самодоповняльні циркулянтні графи не існують.[1][3] Гіпотезу через 40 років довів Вілфред (Vilfred).[1]

Гіпотеза Адамса

Визначимо циркулянтну нумерацію циркулянтних графів як маркування вершин графа числами від 0 до n− 1 таким чином, що якщо дві вершини ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ суміжні, то будь-які дві вершини з номерами ${\displaystyle z}$ і (z−x+y) modn теж суміжні. Еквівалентно, циркулянтна нумерація — це нумерація вершин, при якій матриця суміжності графа є циркулянтною матрицею.

Нехай ${\displaystyle a}$ — ціле, взаємно просте з ${\displaystyle n}$, і нехай ${\displaystyle b}$ — будь-яке ціле число. Тоді лінійна функція ax+b перетворить циркулянтну нумерацію в іншу циркулянтну нумерацію. Андраш Адам (András Ádám) висловив гіпотезу, що лінійне відображення — єдиний спосіб перенумерації вершин графа, що зберігає властивість циркулянтності. Тобто, якщо ${\displaystyle G}$ та ${\displaystyle H}$ — два ізоморфних циркулянтних графи з різною нумерацією, то існує лінійне перетворення, що переводить нумерацію для ${\displaystyle G}$ в нумерацію для ${\displaystyle H}$. Однак, як з'ясувалося, гіпотеза Адама не вірна. Контрприкладом служать графи ${\displaystyle G}$ та ${\displaystyle H}$ з 16-тьма вершинами в кожному; вершина ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle G}$ з'єднана з шістьма сусідами x± 1, x± 2, і x± 7 (по модулю 16), в той час як в ${\displaystyle H}$ шість сусідів — це x± 2, x± 3, і x ± 5 (по модулю 16). Ці два графи ізоморфні, але їх ізоморфізм не можна отримати за допомогою лінійного перетворення.[1]

Примітки

1. V. Vilfred. [1]..
2. Small Ramsey Numbers [Архівовано 18 січня 2012 у Wayback Machine.], Stanisław P. Radziszowski, Electronic J. Combinatorics, dynamic survey updated 2009.
3. Horst Sachs. . — Т. 9..

Посилання

• Weisstein, Eric W. Circulant Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.