Хвильовий вектор

Хвильови́й ве́ктор — векторна величина, яка визначає напрямок і характерний розмір періодичності монохроматичної плоскої хвилі. Позначається латинською літерою ${\displaystyle \mathbf {k} }$ й вимірюється в обернених сантиметрах(см^-1).

Рівняння хвилі можна записати як[1]:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} ,t)=Acos(\mathbf {k\cdot r} -\omega t+\phi )}$,

Де ${\displaystyle A}$ — амплітуда хвилі, ${\displaystyle \phi }$ — початкова фаза, ${\displaystyle \omega }$ — кутова частота.

Величина ${\displaystyle \mathbf {u} }$ в цьому випадку є довільною величиною, що змінюється в просторі і часі — це може бути зміщення точок з положення рівноваги, напруженість електричного або магнітного поля, тощо.

Зв'язок з іншими величинами

Модуль хвильового вектора називається хвильовим числом. Воно пов'язане з довжиною хвилі λ співвідношенням:

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$.

Таким чином хвильове число є просторовим аналогом кутової частоти[2].

У напрямку хвильового вектора фаза хвилі змінюється найшвидше (якщо "зафіксувати" час). Математично це можна також записати як:

${\displaystyle \mathbf {k} =\nabla \phi }$

Швидкість руху фази хвилі (фазова швидкість) у цьому напрямку навпаки є мінімальною, і дорівнює:

${\displaystyle v_{ph}=\omega /k}$

Імпульс квантових хвиль дорівнює:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$

Складні хвилі

Квазігармонічні хвилі (такі хвилі подібні до гармонічних у масштабі одного періоду, але з часом їх амплітуда повільно змінюється), наприклад, биття, можна описати, вводячи локальний хвильовий вектор ${\displaystyle \mathbf {k} (\mathbf {r} ,t)}$ як градієнт фази і частоту ${\displaystyle \omega (\mathbf {r} ,t)}$ як часткову похідну фази по часу. Проте такий опис можливий лише якщо амплітуда, частота і напрям хвилі змінюються достатньо повільно. Обмежуючі критерії можна записати наступними рівняннями:

${\displaystyle {\frac {1}{\omega A}}{\frac {\partial A}{\partial t}}\ll 1,{\frac {1}{kA}}|\nabla A|\ll 1,{\frac {1}{\omega ^{2}}}{\frac {\partial \omega }{\partial t}}\ll 1,{\frac {1}{\omega k}}|\nabla \omega |\ll 1,{\frac {1}{k_{i}k_{j}}}{\frac {\partial k_{i}}{\partial k_{j}}}\ll 1}$

Напрямок перенесення енергії такою хвилею може не збігатися з хвильовим вектором і навіть бути напрямленим у протилежну сторону, наприклад у випадку аномальної дисперсії[1].

У випадку експоненційно згасаючих хвиль, хвильовий вектор є комплексною величиною. Прикладом таких хвиль є електромагнітні хвилі під час проходження через речовину[3].

Також, електромагнітні хвилі часто описуються хвильовим 4-вектором, просторові компоненти якого збігаються зі звичайним хвильовим вектором, а часова дорівнює ${\displaystyle \omega /c}$[1].

У випадку не плоских хвиль хвильовий вектор зазвичай не використовується. Так, сферична хвиля розповсюджується в усі сторони, тому в її рівнянні фігурує хвильове число а не хвильовий вектор[4]:

${\displaystyle \mathbf {u} (r,t)={\frac {A}{r}}cos(kr-\omega t)}$,

де r — відстань від джерела хвилі.

Примітки

1. волновой вектор [Архівовано 4 січня 2022 у Wayback Machine.](рос.)
2. Мешков,Чириков, 1982, с. 182.
3. Пинскер, 1974, с. 77.
4. Иродов, 2015, с. 12.

Література

• Мешков И.Н., Чириков Б.В. Электричество и магнетизм // Электромагнитное поле. — Новосибирск : «Наука», 1987. — Т. 1. — 256 с.
• Пинскер З.Г. Динамическое рассеяние рентгеновских лучей в идеальных кристаллах. — М. : «Наука», 1974. — 365 с.
• Иродов И.Е. Волновые Процессы. Основные Законы. — М. : «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2015. — 256 с. — ISBN 978-5-9963-2738-6.