Формула Шарвіна

Формула Шарвіна
Названо на честь	Шарвін Юрій Васильович
Дата публікації	1965
Формула	${\displaystyle R_{Sh}^{-1}={\frac {3\pi }{16}}{\frac {n{{e}^{2}}{{d}^{2}}}{{p}_{F}}},}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Формула Шарвіна — математичний вираз для опору балістичного контакту у формі отвору малого діаметра d << l у непрозорій для електронів перегородці, де l — мінімальна (щодо пружних або непружних зіткнень) довжина вільного пробігу[1]. Формула вперше була отримана Юрієм Васильовичем Шарвіним в 1965 р.[2]

Якісне пояснення

Електричний контакт називають балістичним, якщо його розміри істотно менше довжини вільного пробігу l. Найпростішою моделлю такого контакту є модель круглого отвору діаметром d, набагато меншим довжини l, у нескінченно тонкої діелектричній перегородці між двома масивними металами (берегами контакту), до яких прикладена різниця потенціалів V. Електрони, що потрапили в отвір, вільно проходять через нього і створюють електричний струм. Електрони, що зіткнулися з перегородкою, відбиваються назад у той же берег і не беруть участь у процесі провідності. Шарвін зауважив, що балістичний опір ${\displaystyle R_{Sh}}$ такого контакту визначається областю металу з характерним об'ємом ${\displaystyle d^{2}l}$ і за порядком величини збігається з опором циліндра діаметром d і довжиною l[2]:

${\displaystyle R_{Sh}^{-1}\sim \sigma {\frac {{d}^{2}}{l}}\sim {\frac {n{{e}^{2}}l}{{p}_{F}}}{\frac {{d}^{2}}{l}}={\frac {n{{e}^{2}}{{d}^{2}}}{{p}_{F}}},}$ (1)

де ${\displaystyle \sigma ={\frac {n{{e}^{2}}l}{{p}_{F}}}}$ — питома електропровідність металу, n — щільність носіїв заряду в металі, e — заряд електрона, ${\displaystyle p_{F}}$ — Фермі — імпульс. Формулу (1) часто називають опором Шарвіна[3]. Опір (1) не залежить від довжини вільного пробігу і визначається тільки характеристиками електронного спектра і геометрією контакту.

Теорія

Опір Шарвіна для довільного закону дисперсії електронів в металі може бути обчислено за допомогою рішення кінетичного рівняння Больцмана для квазікласичної функції розподілу з граничною умовою її рівноважности далеко від контакту. У балістичній границі рівняння не містить інтеграли зіткнень електронів з домішками, фононами та ін. Результат обчислень при малих напругах (наближення закону Ома) має такий вигляд[4]:

${\displaystyle {{R}_{Sh}^{-1}}={\frac {{{e}^{2}}{{S}_{c}}{{S}_{F}}}{{\left(2\pi \hbar \right)}^{3}}}\left\langle {\frac {{v}_{\parallel }}{v}}\right\rangle ,}$ (2)

де ${\displaystyle S_{c}}$ — площа контакту довільної форми, ${\displaystyle S_{F}}$ — площа поверхні Фермі, ${\displaystyle v_{\parallel }}$ і ${\displaystyle v}$ — паралельна осі контакту складова швидкості електрона і її абсолютне значення, ${\displaystyle <...>}$ означає усереднення за частиною поверхні Фермі, на якій ${\displaystyle v_{\parallel }>0}$. Для круглого отвору і сферичної поверхні Фермі формула (2) призводить до результату[5]:

${\displaystyle R_{Sh}^{-1}={\frac {3\pi }{16}}{\frac {n{{e}^{2}}{{d}^{2}}}{{p}_{F}}},}$ (3)

що відрізняється від результату (1), отриманого за допомогою найпростіших якісних міркувань, лише постійним числовим коефіцієнтом.

Використання формули

Балістичні контакти, опір яких описується формулою Шарвіна, є важливим інструментом фізичних досліджень. Дослідження вольт-амперних характеристик мікроконтактів і їх похідних покладено в основу мікроконтактної спектроскопії взаємодії електронів з бозонними збудженнями провідника[6][7]. Вона використовується при розрахунку провідних характеристик гранульованих провідників, в яких контакти між окремими гранулами в багатьох випадках добре описуються формулою Шарвіна. За допомогою формули Шарвіна може бути розрахований критичний струм джозефсонівських слабких зв'язків у вигляді мікромостків між двома надпровідниками[8].

Література

1. László Mihály, Michael C. Martin. Solid State Physics: Problems and Solutions, John Wiley & Sons. 2009. ISBN 352740855X, 9783527408559
2. Шарвин Ю. В. Об одном возможном методе исследования поверхности Ферми. ЖЭТФ, 1965, 48, вып. 3, с. 984—985.
3. M. J. M. de Jong Transition from Sharvin to Drude resistance in high-mobility wires Phys. Rev. B 49, 7778 DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevB.49.7778
4. Кулик И. О. Омельянчук А. Н. Шехтер Р. И. Электропроводность точечных микроконтактов и спектроскопия фононов и примесей в нормальных металлах. ФНТ, 1977, 3, № 12, с. 1543—1558
5. Янсон И. К. МИКРОКОНТАКТНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ЧИСТЫХ .МЕТАЛЛАХ. ФНТ (1983) Т.9, № 7 С.676 — 709.
6. Yu. G. Naidyuk, I. K. Yanson, Point-contact spectroscopy — Springer, New-York, 2005. ISBN 978-0-387-21235-7
7. A. V. Khotkevich, I. K. Yanson, Atlas of Point-Contact Spectra of Electron-Phonon Interaction in Metals — Kluwer Academic Publishers, Boston, 1995. ISBN 978-0-7923-9526-3
8. И. О. Кулик, А. Н. Омельянчук. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих микромостиках: микроскопическая теория. ФНТ, 1978, Т.4, № 3 С. 296—311