Рівняння Больцмана

Рівняння Больцмана або кінетичне рівняння Больцмана — рівняння, що описує еволюцію розподілу частинок нерівноважної термодинамічної системи в просторі координат та за швидкостями.

Людвіг Больцман запропонував це рівняння для опису нерівноважних газів, але воно стало широко вживатися й для електронного газу твердих тіл, оскільки дозволяє легко врахувати особливості квантової статистики Фермі — Дірака. Для просторово неоднорідної системи рівняння Больцмана дозволяє розраховувати процеси дифузії частинок. Для системи у зовнішніх полях рівняння Больцмана дозволяє визначити баланс між прискоренням частинок полями й дисипацією їхньої енергії під час зіткнень.

Формулювання

Для опису нерівноважної термодинамічної системи вводиться залежна від часу t, просторових координат ${\displaystyle \mathbf {r} }$ й швидкості частинок ${\displaystyle \mathbf {v} }$ функція розподілу ${\displaystyle f(t,\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$, яка задає ймовірність того, що частинка в момент часу t матиме перебуватиме в кубі з вершиною в точці ${\displaystyle \mathbf {r} }$ і стороною ${\displaystyle d\mathbf {r} }$, а її швидкість буде в діапазоні від ${\displaystyle \mathbf {v} }$ до ${\displaystyle d\mathbf {v} }$. Для цієї функції справедливе рівняння:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla f+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {v} }f={\mathcal {J}}{\bigl \{}f{\bigr \}}}$,

де m — маса частинок, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — сума зовнішніх сил, які діють на ці частинки.

Зміна функції розподілу, тобто ймовірності того, що частинка перебуватиме в околі певної точки й матиме певну швидкість, відбувається:

• завдяки вильоту частинки із об'єму;
• завдяки прискоренню чи сповільненню, викликаному дією зовнішніх сил;
• завдяки зіткненню із іншими частинками.

Член в правій частині рівняння Больцмана ${\displaystyle {\mathcal {J}}{\bigl \{}f{\bigr \}}}$ описує зміну функції розподілу при зіткненнях і називається інтергралом зіткнень. При цьому детальна механіка розсіювання частинок не розглядається. Вважається, що при розсіюванні частинки миттєво міняють свої швидкості.

Рівняння Больцмана справедливе для полів, які не дуже швидко міняються в просторі. Вважається, що кожен елементрарний об'ємчик досить великий, щоб для нього можна було ввести функцію розподілу, але малий в порівнянні із характерною довжиною зміни зовнішніх полів.

Рівняння Больцмана нехтує узгодженим рухом частинок. Його справедливість обмежена газами, в яких зіткнення відбуваються не дуже часто. В випадку більших густин частинок застосовуються складніші рівняння, наприклад рівняння ББГКІ.

Інтеграл зіткнень

Зіткнення між частинками призводить до зміни їхніх швидкостей. Якщо ${\displaystyle W(\mathbf {v} ,\mathbf {v} ^{\prime })d^{3}v^{\prime }dt}$ задає імовірність розсіювання частинки із стану зі швидкістю ${\displaystyle \mathbf {v} }$ у стан зі швидкістю ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\prime }}$, то інтеграл зіткнень для класичних частинок записується у вигляді: ${\displaystyle {\mathcal {J}}{\bigl \{}f{\bigr \}}=\int _{\mathbf {v} ^{\prime }}[f(t,\mathbf {r} ,\mathbf {v} ^{\prime })W(\mathbf {v} ^{\prime },\mathbf {v} )-f(t,\mathbf {r} ,\mathbf {v} )W(\mathbf {v} ,\mathbf {v} ^{\prime })]d^{3}v^{\prime }}$.

У випадку квантового характеру статистики частинок цей вираз ускладнюється неможливістю двох частинок перебувати в стані з однаковими квантовими числами, а тому потрібно враховувати неможливість розсіювання в зайняті стани.

Детальніші відомості з цієї теми ви можете знайти в статті Інтеграл зіткнень.

.

Наближення часу релаксації (τ-наближення)

Рівняння Больцмана — складне інтегродиференціальне рівняння в часткових похідних. Окрім того, інтеграл зіткнень залежить від конкретної системи, від типу взаємодії між частинками та інших факторів. Знаходження загальних характеристик нерівноважних процесів — непроста справа.

Однак, відомо, що в стані термодинамічної рівноваги інтеграл зіткнень дорівнює нулю. Справді, в стані рівноваги в однорідній системі при відсутності зовнішніх полів усі похідні в лівій частині рівняння Больцмана дорівнюють нулю, тож інтеграл зіткнень теж повинен дорівнювати нулю.

При малих відхиленнях від рівноваги функцію розподілу можна подати у вигляді

${\displaystyle f=f_{0}+f_{1}\,}$,

де ${\displaystyle f_{0}(\mathbf {v} )}$ — рівноважна функція розподілу, що залежить лише від швидкостей частинок і відома з термодинаміки, а ${\displaystyle f_{1}}$ — невелике відхилення.

В цьому випадку можна розкласти інтеграл зіткнень у ряд Тейлора відносно функції ${\displaystyle f_{1}}$, і записати його у вигляді:

${\displaystyle -{\frac {f_{1}}{\tau }}=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}}$,

де τ — час релаксації. Таке наближення називається наближенням часу релаксації (або τ-наближенням).

Час релаксації, який входить у рівняння Больцмана залежить від швидкості частинок, а отже енергії. Час релаксації можна розрахувати для конкретної системи із конкретним процесами розсіювання частинок.

Рівняння Больцмана в наближенні часу релаксації записується у вигляді

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla f+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {v} }f=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}}$.

Застосування

Рівняння Больцмана застосовують для опису плазми, в теорії твердого тіла тощо, всюди, де вивчаються транспортні явища: електропровідність, термоелектричні явища, дифузія, ефект Хола та ін.

Джерела

• Ансельм А.И. (1978). Введение в теорию полупроводников (російська) . Москва: Наука.