Топологічний векторний простір

Означення

Топологічний векторний простір над топологічним полем ${\displaystyle K}$ — векторний простір ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle K}$, наділений топологією, що узгоджується зі структурою векторного простору, тобто задовольняє наступним аксіомам:

1. відображення ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\to x_{1}+x_{2},\ E\times E\to E}$ є неперервним;
2. відображення ${\displaystyle (k,x)\to kx,\ K\times E\to E}$ є неперервним

В цих означеннях добутки ${\displaystyle E\times E}$ і ${\displaystyle K\times E}$ наділені добутками відповідних топологій).

Цілком аналогічно можна визначити топологічний лівий і правий векторний простори над (не обов'язково комутативним) топологічним тілом. Для позначення топологічного векторного простору ${\displaystyle E}$ з топологією ${\displaystyle \tau }$ іноді використовується символ ${\displaystyle (E,\tau )}$.

Топологічні векторні простори ${\displaystyle E_{l}}$ і ${\displaystyle E_{2}}$ над одним і тим же топологічним полем ${\displaystyle K}$ називаються ізоморфними, якщо існує неперервне лінійне взаємно однозначне відображення ${\displaystyle E_{1}}$ на ${\displaystyle E_{2}}$, обернене до якого також є неперервним. Розмірністю топологічного векторного простору ${\displaystyle (E,\tau )}$ називається розмірність векторного простору ${\displaystyle E}$.

Властивості

• Нехай ${\displaystyle (E,\tau )}$ — топологічний векторний простір над топологічним полем ${\displaystyle K}$. Топологія ${\displaystyle \tau }$ є інваріантною щодо зсувів (тобто відображення ${\displaystyle x\to x+a}$ є гомеоморфізмом на себе для кожного ${\displaystyle a\in E}$). Як наслідок топологія ${\displaystyle \tau }$ однозначно визначається базою околів довільної фіксованої точки (зокрема, нуля).

• Для того щоб простір ${\displaystyle (E,\tau )}$ був гаусдорфовим, необхідно і достатньо, щоб для будь-якої точки ${\displaystyle x\in E,\ x\neq 0}$ існував окіл нуля, що не містить ${\displaystyle x}$.
• Якщо простір ${\displaystyle (E,\tau )}$ є гаусдорфовим, то він є цілком регулярним.
• В просторі ${\displaystyle (E,\tau )}$ існує єдина рівномірна структура, що є інваріантною щодо зсувів (тобто для неї всі зсуви є рівномірно неперервними відображеннями) і асоційована з нею топологія збігається з вихідною топологією простору. Множина в топологічному векторному просторі називається повною, якщо вона є повною щодо цієї рівномірної структури.

• Топологічний векторний простір ${\displaystyle (E,\tau )}$ є повним, якщо кожен фільтр Коші в ${\displaystyle (E,\tau )}$ є збіжним.

• Для будь-якого топологічного векторного простору ${\displaystyle E}$ існує повний топологічний векторний простір над тим же полем, що містить ${\displaystyle E}$ як усюди щільну підмножину і індукує на ${\displaystyle E}$ вихідні лінійну структуру і топологію. Цей простір називається поповненням простору ${\displaystyle E}$.

• Будь-який гаусдорфів топологічний векторний простір ${\displaystyle E}$ має гаусдорфове поповнення, що є єдиним з точністю до ізоморфізму, що залишає нерухомими елементи простору ${\displaystyle E}$.

• Нехай тепер ${\displaystyle K}$ — недискретне нормоване поле, наділене топологією, яка визначається нормою. Якщо ${\displaystyle E}$ — векторний простір над ${\displaystyle K}$, то множина ${\displaystyle Q\subset E}$ називається збалансованою (або врівноваженою), якщо ${\displaystyle kQ\subset Q}$ для всіх ${\displaystyle k\in K,\;|k|\leqslant 1}$. Якщо ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ — дві підмножини в ${\displaystyle E}$, то кажуть, що ${\displaystyle A}$ поглинає ${\displaystyle B}$, якщо існує таке додатне число ${\displaystyle r}$, що ${\displaystyle kA\supset B}$ при ${\displaystyle k\in K,\;|k|>r}$. Підмножина простору ${\displaystyle E}$ називається поглинаючою (або радіальною), якщо вона поглинає кожну одноточкову множину. У всякому топологічному векторному просторі над ${\displaystyle K}$ існує база ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ замкнутих околів нуля з наступними властивостями:

1. для будь-якої множини ${\displaystyle V\in {\mathcal {U}}}$ існує ${\displaystyle W\in {\mathcal {U}}}$ таке, що ${\displaystyle W+W\subset V}$;
2. кожна підмножина ${\displaystyle V\in {\mathcal {U}}}$ є збалансованою і поглинаючою;
3. якщо ${\displaystyle V\in {\mathcal {U}}}$, то і ${\displaystyle kV\in {\mathcal {U}}}$ для всякого ${\displaystyle k\in K,\;k\neq 0.}$

• З іншого боку, нехай ${\displaystyle \tau }$ — топологія в векторному просторі ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle K}$, що є інваріантною щодо зсувів і має базу околів нуля, що задовольняє властивості властивості (1) і (2) вище, а також властивість: За) існує таке ${\displaystyle k\in K,\;\;0<|k|<1}$, що, якщо ${\displaystyle V\in {\mathcal {U}}}$, то і ${\displaystyle kV\in {\mathcal {U}}}$. Тоді ${\displaystyle E}$ з топологією ${\displaystyle \tau }$ є топологічним векторним простором над ${\displaystyle K}$ (в тому випадку, коли норма в полі ${\displaystyle K}$ є архімедовою, (За) є наслідком інших вимог, накладених на ${\displaystyle (E,\tau )}$). Всякий базис фільтра ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ у векторному просторі ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle K}$, що задовольняє властивостями (1), (2), (За) є фундаментальною системою околів нуля (не обов'язково замкнутих) деякої однозначно визначеної топології ${\displaystyle \tau }$ в ${\displaystyle E}$, що узгоджується зі структурою векторного простору в ${\displaystyle E}$. У топологічному векторному просторі над полем дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або над полем комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ його топологія називається локально опуклою, якщо ${\displaystyle \tau }$ має базу околів нуля, що складається з опуклих множин (іноді в визначення локально опуклого простору включається ще вимога його гаусдорфовості).

Література

• Grothendieck, A. (1973). Topological vector spaces. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 0-677-30020-4.
• Kothe, G. (1983) [1969]. Topological vector spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Т. 159. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-64990-5.
• Kothe, G. (1979). Topological vector spaces II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Т. 237. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4684-9411-2.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, M. P. (1999) [1966]. Topological vector spaces. GTM. Т. 3 (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98726-2.
• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 0-201-04166-9.
• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Т. 53. Cambridge University Press.
• Rudin, Walter (1991) [1973], Functional Analysis (вид. 2nd), McGraw–Hill, ISBN 0-07-054236-8, MR 1157815
• Treves, F. (1967). Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press. ISBN 0-486-45352-9.