Збалансована множина

В лінійній алгебрі і пов'язаних розділах математики збалансованою множиною (також врівноваженою множиною, заокругленою множиною) у векторному просторі над полем K з абсолютним значенням ${\displaystyle |\cdot |}$) називається множина S така що для всіх скалярів ${\displaystyle \alpha }$ з ${\displaystyle |\alpha |\leqslant 1}$

${\displaystyle \alpha S\subseteq S}$

де

${\displaystyle \alpha S:=\{\alpha x\mid x\in S\}.}$

Збалансованою оболонкою множини S називається найменша збалансована множина, що містить S. Вона є рівною перетину всіх збалансованих множин, що містять S.

Приклади

• Відкриті і замкнуті кулі з центром в точці 0 в Нормований простір є збалансованими множинами.
• Будь-який підпростір векторного простору є збалансованою множиною.
• Прямий добуток збалансованих множин є збалансованою множиною в добутку векторних просторів (над полем K).
• Для ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ як 1-вимірного векторного простору збалансованими множинами є ${\displaystyle \mathbb {C} }$, порожня множина, відкриті і замкнуті круги з центром в точці 0. Натомість, у двовимірному дійсному евклідовому просторі є набагато більше збалансованих множин: наприклад будь-яка пряма, що проходить через початок координат або відрізок з середньою точкою в початку координат.
• Якщо ${\displaystyle p}$ є напівнормою на векторному просторі ${\displaystyle X,}$ тоді для будь-якої константи ${\displaystyle c>0,}$ множина

${\displaystyle \{x\in X\mid p(x)\leqslant c\}}$

є збалансованою.

Властивості

• Об'єднання і перетин збалансованих множин є збалансованою множиною.
• Замикання збалансованої множини є збалансованою множиною.
• Об'єднання ${\displaystyle \{0\}}$ і внутрішніх точок збалансованої множини є збалансованою множиною.
• Множина є абсолютно опуклою тоді і тільки тоді коли вона є опуклою і збалансованою.

Література

• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Т. 53. Cambridge University Press. с. 4.
• W. Rudin (1990). Functional Analysis (вид. 2nd). McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054236-8.
• H.H. Schaefer (1970). Topological Vector Spaces. GTM. Т. 3. Springer-Verlag. с. 11. ISBN 0-387-05380-8.