|
Теорема про булеві прості ідеалиТеорема про Булеві прості ідеали в теорії порядку стверджує, що ідеали в булевій алгебрі можуть бути розширені до простих ідеалів. Так як в теорії порядку більшість понять є двоїстими, і двоїстим до ідеала є фільтр, то аналогічне твердження для фільтрів називається — лема про ультрафільтри. Існують аналогічні формулювання і для інших алгебраїчних структур, наприклад, для кілець та їх простих ідеалів (в теорії кілець). Всі ці формулювання не можуть бути доведені в рамках аксіом теорії множин Цермело-Френцеля (ZF). В рамках ZFC деякі з них еквівалентні аксіомі вибору (AC), а саме теорема про Булеві прості ідеали (BPI) — є набагато слабшою за AC. Лема про ультрафільтрЛема:
Це історично перше з усіх формулювань. Теореми про прості ідеалиВраховуючи, що:
Перефразуємо лему про ультрафільтр та отримаємо, теорему:
Ця теорема узагальнюється на різні алгебраїчні структури. Якщо в них мова йде про прості ідеали, то її позначають PIT, а якщо про максимальні — MIT. Зазвичай версії MIT строгіші зі версії PIT. Теорема про прості булеві ідеалиЯкщо B — булева алгебра, I — деякий її ідеал, та F — її фільтр, такий що I та F не перетинаються (не мають спільних елементів). Тоді I міститься в деякому простому ідеалі B, що не перетинається з F. Узагальнення для деяких ґратокТеорема також справедлива для дистрибутивних ґраток та імплікативних ґраток. Але для них максимальні та прості ідеали не збігаються, тому:
Див. такожДжерела
|