Теорема Перрона — Фробеніуса

Теорема Перрона — Фробеніуса — теорема, що описує деякі властивості спектру додатних та невід'ємних квадратних матриць. Названа на честь німецьких математиків Оскара Перрона^[en] (який довів її для додатних матриць) і Георга Фробеніуса. Результати теореми використовуються у теорії ймовірностей (при дослідженні властивостей ланцюгів Маркова зі скінченною кількістю станів), математичній економіці (зокрема при дослідженні моделі Леонтьєва) та ін.

Твердження для додатних матриць

Нехай A — деяка додатна квадратна матриця, тобто ${\displaystyle a_{ij}>0,\quad \forall i,j.}$

Тоді виконуються такі твердження:

• Матриця A має деяке дійсне додатне власне число r.
• Всі інші власні числа матриці A (дійсні чи комплексні) за модулем менші від r.
• Дане власне значення є простим коренем характеристичного рівняння.
• Існує власний вектор, що відповідає r і має строго додатні координати
• Серед власних векторів, що відповідають іншим власним значенням немає жодного зі строго додатними координатами.
• Виконуються нерівності:

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

Результати цього твердження залишаються в силі, якщо замість додатних матриць розглядати примітивні матриці, тобто такі деяка степінь яких є додатною матрицею.

Невід'ємні нерозкладні матриці

Матриця A розмірності n з невід'ємними елементами називається розкладною якщо вона задовольняє такі еквівалентні умови:

• Існує така підмножина ${\displaystyle S\subset \{1,2,\ldots ,n\},}$ що виконуються рівності: ${\displaystyle a_{ij}=0\quad \forall i\in S,j\notin S}$
• Деякою перестановкою рядків і стовпців матрицю можна привести до вигляду:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&0\\C&D\end{bmatrix}}}$

де B і D — деякі квадратні матриці, 0 — нуль-матриця.

Якщо такої множини індексів S не існує (і матрицю не можна привести до вказаного виду), то матриця називається нерозкладною.

Іншими еквівалентними означеннями нерозкладних матриць є:

• ${\displaystyle (I+A)^{n-1}>0}$

де I — одинична матриця.

• Для будь-яких цілих чисел (i, j) таких що ${\displaystyle 1\leqslant i,j\leqslant n}$ існує число ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n,}$ що виконується: ${\displaystyle (A^{k})_{ij}>0}$
• Нехай введено орієнтований граф вершини якого відповідають рядкам і стовпцям матриці і від вершини i до вершини j дуга йде тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle a_{ij}>0.}$ Тоді матриця A є нерозкладною тоді і тільки тоді, коли відповідний граф є сильно зв'язаним.

Твердження для невід'ємних нерозкладних матриць

Нехай A — деяка невід'ємна нерозкладна матриця.

Тоді виконуються такі твердження:

• Матриця A має деяке дійсне додатне власне число r.
• Всі інші власні числа матриці A (дійсні чи комплексні) за модулем не більші від цього числа r.
• Дане власне значення є простим коренем характеристичного рівняння.
• Існує власний вектор, що відповідає r і має строго додатні координати
• Серед власних векторів, що відповідають іншим власним значенням немає жодного із невід'ємними координатами.
• Якщо r є одним із h власних значень рівних за модулем r то ці власні значення рівні усім кореням рівняння ${\displaystyle \lambda ^{h}-r^{h}=0}$ і відповідно кожне є простим коренем характеристичного рівняння.
• Виконуються нерівності:

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

Невід'ємні розкладні матриці

У випадку розкладних матриць згадане в теоремі власне число теж існує, проте воно не обов'язково має бути алгебраїчно простим, а відповідний вектор(вектори) можуть не бути додатними але є невід'ємними.

Див. також

• Стохастична матриця
• Ланцюг Маркова

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Р.Хорн(інші мови), Ч.Джонсон(інші мови). Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Пономаренко О. І.,Перестюк М. О.,Бурим В. М. Основи математичної економіки. — К.: Інформтехніка, 1995.
• Bapat R. B., Raghavan T. E. S. Nonnegative matrices and applications, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-57167-7
• A. Graham, Nonnegative Matrices and Applicable Topics in Linear Algebra, John Wiley&Sons, New York, 1987.
• Henryk Minc, Nonnegative matrices, John Wiley&Sons, New York, 1988, ISBN 0-471-83966-3
• C. Godsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001 (chapter 8).
• A. Berman and R. J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Academic Press, 1979. ISBN 0-12-092250-9