Стохастична матриця

Стохасти́чна ма́триця — матриця, усі елементи якої є невід'ємними, а сума елементів рядків чи стовпців рівна одиниці. Стохастичні матриці широко використовуються в теорії ймовірностей, зокрема при вивченні ланцюгів Маркова.

Визначення

• Матриця ${\displaystyle \ P=(p_{ij})}$ називається стохасти́чною справа (або просто стохастичною), якщо

${\displaystyle p_{ij}\geq 0,\;\forall i,j}$ та ${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{\infty }p_{ij}=1,\quad \forall i.}$

• Матриця називається стохасти́чною злі́ва, якщо

${\displaystyle p_{ij}\geq 0,\;\forall i,j}$ та ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{ij}=1,\quad \forall j.}$

• Матриця називається двічі стохасти́чною, якщо вона стохастична справа і зліва.

Зв'язок із ланцюгами Маркова

Стохастична матриця є матрицею ймовірностей переходів деякого ланцюга Маркова. Якщо імовірність переходу зі стану i в стан j рівна ${\displaystyle \ p_{ij}}$ то наведена нижче матриця буде очевидно стохастичною:

${\displaystyle P=\left({\begin{matrix}p_{1,1}&p_{1,2}&\dots &p_{1,j}&\dots \\p_{2,1}&p_{2,2}&\dots &p_{2,j}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots \\p_{i,1}&p_{i,2}&\dots &p_{i,j}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)}$

Властивості

• Якщо ${\displaystyle \ P}$ та ${\displaystyle \ Q}$ — дві матриці стохастичні зліва (справа, двічі), то і їх добуток ${\displaystyle \ R=PQ}$ теж є стохастичною зліва (справа, двічі) матрицею.

Справді розглянемо стохастичну справа матрицю, для інших доведення аналогічне. Сума елементів i-го рядка матриці ${\displaystyle \ PQ}$ дорівнює:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }p_{ik}q_{kj}=\sum _{j=1}^{\infty }p_{ij}\sum _{k=1}^{\infty }q_{jk}=\sum _{j=1}^{\infty }p_{ij}\cdot 1=1}$

тобто добуток матриць є стохастичною матрицею.

Скінченна стохастична матриця

Якщо стохастична матриця є скінченною, то її спектральний радіус (найбільше абсолютне значення її власних чисел) є рівним одиниці. Очевидно, що 1 є власним значенням будь-якої стохастичної матриці. Для (правої) стохастичної матриці вектор, усі елементи якого рівні 1, буде власним вектором. Для власного значення 1 також існує лівий власний вектор, усі елементи якого є невід'ємними.

Якщо до того ж матриця є нерозкладною, то, згідно з теоремою Перрона — Фробеніуса, 1 буде простим власним значенням (простим коренем характеристичного многочлена) і, якщо ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}$ — лівий власний вектор, що відповідає одиниці, тобто:

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}P={\boldsymbol {\pi }}}$,

то всі елементи цього вектора є додатними. До того ж ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}$ буде єдиним лівим власним вектором, усі елементи якого є невід'ємними дійсними числами.

Скінченна стохастична матриця ${\displaystyle P=(p_{ij}),\;i,j=1,\ldots ,N}$ називається регуля́рною, якщо існує таке ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, що

${\displaystyle p_{ij}^{(n)}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N}$,

де ${\displaystyle p_{ij}^{(n)}}$— елементи ${\displaystyle n}$-ї степені матриці ${\displaystyle P}$, тобто ${\displaystyle P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)}$.

Якщо ${\displaystyle P}$ — регулярна стохастична матриця, то

${\displaystyle P^{n}\to \mathbf {1} ^{\top }{\boldsymbol {\pi }}}$,

де ${\displaystyle \mathbf {1} =(1,\ldots ,1)}$ — вектор розмірності ${\displaystyle N\times 1}$, усі елементи якого рівні одиниці, а ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}$  — визначений раніше власний вектор.

Див. також

• Ланцюги Маркова
• Теорема Перрона — Фробеніуса
• Двічі стохастична матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — 2-е. — Москва : Наука, 1977. — 567 с.(рос.)
• Bapat R. B., Raghavan T. E. S. Nonnegative matrices and applications, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-57167-7