Теорема Паскаля

Шестикутник вписаний в еліпс, точки перетину трьох пар протилежних сторін лежать на одній (червоній) прямій

Теорема Паскаля — теорема проєктивної геометрії, яка свідчить, що

Якщо шестикутник вписаний в коло або будь-який інший конічний перетин (еліпс, параболу, гіперболу, навіть пару прямих), то точки перетину трьох пар протилежних сторін лежать на одній прямій.

Теорема Паскаля двоїста до теореми Бріаншона.

Історія

Вперше сформульована і доведена Блезом Паскалем у 16 років як узагальнення теореми Паппа. Цю теорему Паскаль взяв за основу свого трактату про конічні перетини. Сам трактат пропав і відомий лише його короткий зміст з листа Лейбніца, який під час свого перебування в Парижі мав його у своїх руках, і короткий виклад основних теорем цього трактату, складений самим Паскалем (Есе про конічні перетини).

Про доведення

• Одне з доведень базується на підрахунку подвійних відношень.
• Ще одне доведення ґрунтується на послідовному застосуванні теореми Менелая.
• Проєктивним перетворенням можна перевести описану коніку в коло, при цьому умова теореми збережеться. Для кола теорема може бути доведена з існування ізогонального спряження.
  • У разі опуклого багатокутника, вписаного в коло, можна здійснити проєктивне перетворення, що залишає коло на місці, а пряму, що проходить через точки перетину двох пар протилежних сторін відвести на нескінченність. У цьому випадку твердження теореми стане очевидним.

Застосування

• Дозволяє будувати конічний перетин по п'яти точках як геометричне місце точок відповідних шостій точці шестикутника в конфігурації.

Варіації і узагальнення

Теорема правильна і в тому випадку, коли дві або навіть три сусідніх вершини збігаються (але не більше ніж по дві в одній точці).

У цьому випадку як пряма, що проходить через дві вершини, що збігаються, приймається дотична до лінії в цій точці.

Зокрема:

Дотична до лінії 2-го порядку, проведена в одній з вершин вписаного п'ятикутника, перетинається зі стороною, протилежної цій вершині, в точці, яка лежить на прямій, що проходить через точки перетину інших пар несуміжних сторін цього п'ятикутника.

Якщо ABCD — чотирикутник, вписаний в лінію 2-го порядку, то точки перетину дотичних в вершинах С і D відповідно зі сторонами AD і ВС і точка перетину прямих А В і CD лежать на одній прямій.

Точки перетину дотичних в вершинах трикутника, вписаного в лінію 2-го порядку, з протилежними сторонами лежать на одній прямій.

Ця пряма називається прямою Паскаля даного трикутника.

Шестикутник ABCDEF (праворуч) вписаний в коло, точки перетину трьох пар продовжень його протилежних сторін лежать (ліворуч) на одній (синій) прямій MNP (пряма Паскаля)

Теорема правильна навіть для вписаного в коло шестикутника ABCDEF, що має самоперетини. Пари (кожна свого кольору — червоного, жовтого, синього) його протилежних продовжених сторін перетинаються на лінії Паскаля (біла)

У 1847 з'явилося узагальнення теореми Паскаля, зроблене Мебіусом, яке звучить так:

Якщо багатокутник з ${\displaystyle 4n+2}$ сторонами вписаний в конічний перетин і протилежні його сторони продовжені таким чином, щоб перетнутися в ${\displaystyle 2n+1}$ точці, то якщо ${\displaystyle 2n}$ цих точок лежать на прямій, остання точка теж буде лежати на цій прямій.

Теорема Кіркмана:

Нехай точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ та ${\displaystyle F}$ лежать на одному конічному перетині. Тоді прямі Паскаля шестикутників ${\displaystyle ABFDCE}$, ${\displaystyle AEFBDC}$ та ${\displaystyle ABDFEC}$ перетинаються в одній точці.

• Теорема про 9 точок на кубиці^[ru]

Посилання

• Блез Паскаль. Опыт о конических сечениях с приложением письма Лейбница к Э. Перье. Перевод и комментарии Г. И. Игнациуса. // Историко-математические исследования. Выпуск XIV.
• Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 2, § 16-19. М., 1883.
• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? [Архівовано 13 грудня 2012 у Wayback Machine.] Глава IV, § 8.4.
• Живые чертежи (на Java)
  • Pascal's theorem [Архівовано 12 травня 2014 у Wayback Machine.] на Cut the knot [Архівовано 13 травня 2014 у Wayback Machine.]
  • Pascal's theorem
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0

Див. також

• Теорема Паппа
• Теорема Дезарга
• Унікурсальна гексаграма