Теорема Лефшеца про нерухому точку

Теорема Лефшеца про нерухому точку — результат у алгебричній топології про існування нерухомих точок неперервного відображення в себе для досить широких класів топологічних просторів.

Число Лефшеца

Нехай ${\displaystyle X}$— зв'язний компактний орієнтовний топологічний многовид або скінченний CW-комплекс (зокрема поліедр — простір гомеоморфний скінченному симпліційному комплексу). У цих випадках сингулярні гомологічні групи ${\displaystyle H_{*}(X,\mathbb {Q} )}$ (для поліедрів еквівалентно симпліційні гомологічні групи) над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ є скінченновимірними векторними просторами. Нехай ${\displaystyle C_{n}(X,\mathbb {Q} ),Z_{n}(X,\mathbb {Q} ),B_{n}(X,\mathbb {Q} ),H_{n}(X,\mathbb {Q} )}$ — стандартні позначення для n-их компонент елементів відповідних ланцюгових комплексів, циклів, границь і гомологічних груп (деталі у статті Ланцюговий комплекс).

Якщо ${\displaystyle f:X\to X}$ — неперервне відображення, то воно задає лінійні відображення ${\displaystyle f_{*}^{n}:H_{n}(X,\mathbb {Q} )\to H_{n}(X,\mathbb {Q} )}$ Нехай ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{*}^{n})}$ — слід лінійного перетворення.

За означенням, числом Лефшеца відображення ${\displaystyle f}$ називається число

${\displaystyle \Lambda _{f}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{n}\mathrm {Tr} (f_{*}^{n}).}$

Властивості числа Лефшеца

• Якщо функції f і g є гомотопно еквівалентними, то ${\displaystyle \Lambda _{f}=\Lambda _{g}.}$

• У випадку, наприклад, скінченного симпліційного комплексу число Лефшеца можна ввести в інший спосіб. Тоді відображення ${\displaystyle f:X\to X}$ задає лінійні відображення ${\displaystyle f_{n}:S_{n}(X,\mathbb {Q} )\to S_{n}(X,\mathbb {Q} )}$ на скінченновимірних просторах ${\displaystyle S_{n}(X,\mathbb {Q} ),}$ елементи базиса яких є у бієктивній відповідності із n-симплексами симпліційного комплексу. Відображення ${\displaystyle f_{n}}$ одержуються, наприклад композицією відображень ${\displaystyle f_{n}:C_{n}(X,\mathbb {Q} )\to C_{n}(X,\mathbb {Q} )}$ на сингулярному комплексі із ланцюговими відображеннями, що задають еквівалентність симпліційних і сингулярних гомологій. Тоді:

${\displaystyle \Lambda _{f}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{n}\mathrm {Tr} (f_{n}).}$

Нижче цикли, границі і гомології подані для симпліційного випадку. Для доведення позначимо відображення ${\displaystyle f_{n}':B_{n}(X,\mathbb {Q} )\to B_{n}(X,\mathbb {Q} )}$ і ${\displaystyle {\bar {f}}_{n}:S_{n}(X,\mathbb {Q} )/Z_{n}(X,\mathbb {Q} )\to S_{n}(X,\mathbb {Q} )/Z_{n}(X,\mathbb {Q} )}$. Із елементарних властивостей сліду лінійних відображень над скінченновимірними векторними просторами випливає, що ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{n})=\mathrm {Tr} (f_{n}')+\mathrm {Tr} (f_{*}^{n})+\mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})}$. Але граничний гомоморфізм ${\displaystyle \partial }$ задає ізоморфізми ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{n}:C_{n}(X,\mathbb {Q} )/Z_{n}(X,\mathbb {Q} )\to B_{n-1}(X,\mathbb {Q} )}$ і ${\displaystyle {\bar {f}}_{n}={\bar {\partial }}_{n}^{-1}\circ f_{n}'\circ {\bar {\partial }}_{n}}$, а тому ${\displaystyle \mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})=\mathrm {Tr} (f_{n-1}')}$. Остаточний результат одержується підстановкою виразу ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{*}^{n})}$ через ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{n}),\mathrm {Tr} (f_{n}')}$ і ${\displaystyle \mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})}$ у формулу числа Лефшеца і скороченням ${\displaystyle \mathrm {Tr} ({\bar {f}}_{n})}$ і ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{n-1}'),}$ які будуть мати різні знаки.

• Якщо у випадку скінченного симпліційного комплексу взяти ${\displaystyle f=1_{X}}$ (одиничне відображення на просторі ${\displaystyle X}$) то ${\displaystyle 1_{*}^{n}:H_{n}(X,\mathbb {Q} )\to H_{n}(X,\mathbb {Q} )}$ є одиничними відображеннями на гомологічних групах і ${\displaystyle \mathrm {Tr} (1_{n})}$ є рівним кількості симплексів розмірності n (оскільки сингулярні і симпліційні гомології у цьому випадку є еквівалентними). Тому ${\displaystyle \Lambda _{1_{X}}=\chi (X)}$, тобто число Лефшеца для одиничного відображення є рівним характеристиці Ейлера даного простору.

Теорема Лефшеца

Найпростіший варіант теореми Лефшеца стверджує, що якщо ${\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,}$ то неперервне відображення ${\displaystyle f:X\to X}$ має хоча б одну нерухому точку, тобто елемент ${\displaystyle x\in X}$, для якого ${\displaystyle f(x)=x}$.

Формула Лефшеца

Більш детально припустимо, що всі нерухомі точки відображення ${\displaystyle f:X\to X}$ ізольовані.

Для кожної нерухомої точки ${\displaystyle x\in X}$, позначимо через ${\displaystyle i(x)}$ її індекс Кронекера (локальний степінь відображення ${\displaystyle f}$ в околі точки ${\displaystyle x}$). Тоді формула Лефшеца для ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle f}$ має вигляд

${\displaystyle \sum _{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda _{f}.}$

Доведення

Нижче подано доведення для поліедрів — просторів гомеоморфних скінченному симпліційному комплексу.

Припустимо, що ${\displaystyle K}$ є підмножиною деякого евклідового простору ${\displaystyle R^{m}}$, і ${\displaystyle d}$ — стандартна метрика у ${\displaystyle R^{m}}$. Оскільки простір ${\displaystyle |K|}$ є компактним і ${\displaystyle f}$ не має нерухомих точок, ${\displaystyle d(x,f(x))}$ досягає свого мінімального значення ${\displaystyle \delta >0}$, у деякій точці ${\displaystyle |K|}$. Нехай ${\displaystyle n}$ — ціле число, для якого ${\displaystyle \operatorname {mesh} K^{(n)}<{\frac {\delta }{2}}}$, і ${\displaystyle g:|K^{(n+t)}|\to |K^{(n)}|}$ — симпліційне наближення до відображення ${\displaystyle f:|K^{(n)}|\to |K^{(n)}|}$ (деталі щодо позначень і термінології у статті Симпліційний комплекс).

Якщо ${\displaystyle h:|K^{(n+t)}|\to |K^{(n)}|}$ є симпліційним наближенням до одиничного відображення, то ${\displaystyle g\simeq f\simeq fh}$, тож ${\displaystyle g_{*}=f_{*}h_{*}}$. Але ${\displaystyle h_{*}}$ є оберненим ізоморфізмом до ${\displaystyle \phi _{*}^{t}}$, де ${\displaystyle \phi }$ є гомоморфізмом барицентричного підрозбиття ланцюгових комплексів; звідси ${\displaystyle f_{*}=g_{*}\phi _{*}^{t}}$, тож ${\displaystyle g\phi ^{t}:C(K^{(n)})\to C(K^{(n)})}$ є гомоморфізмом ланцюгових комплексів, що породжує ${\displaystyle f_{*}}$.

Зважаючи на еквівалентне означення числа Лефшеца достатньо довести, що для кожного симплекса ${\displaystyle \sigma \in K^{(n)}}$, значенням ${\displaystyle g\phi ^{t}(\sigma )}$ є лінійна комбінація симплексів жоден з яких не є рівним ${\displaystyle \sigma }$, бо у цьому випадку очевидно ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{r})=0}$. Припустимо, що ${\displaystyle \sigma }$ є симплексом для якого ${\displaystyle g\phi ^{t}(\sigma )}$ містить ${\displaystyle \sigma }$. Тоді оскільки ${\displaystyle \phi ^{t}(\sigma )}$ є лінійною комбінацією симплексів, що містяться у ${\displaystyle \sigma }$, отримуємо, що образом хоча б одного з них при відображенні ${\displaystyle g}$ є ${\displaystyle \sigma }$, а тому існує точка ${\displaystyle x\in \sigma }$ для якої також ${\displaystyle g(x)\in \sigma }$ і тому ${\displaystyle d(x,g(x))\leqslant \operatorname {mesh} K^{(n)}<{\frac {\delta }{2}}}$. Але з властивостей симпліційного наближення випливає, що ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle g(x)}$ належать деякому спільному симплексу і тому ${\displaystyle d(f(x),g(x))<{\frac {\delta }{2}}}$. Звідси ${\displaystyle d(x,f(x))<d(x,g(x))+d(f(x),g(x))<\delta }$, що суперечить означенню числа ${\displaystyle \delta }$.

Застосування

Властивості просторів зі скінченними гомологічними групами

Для скінченного лінійно зв'язного симпліційного комплексу K, для якого гомологічні групи ${\displaystyle H_{n}(K)=H_{n}(K,\mathbb {Z} )}$є скінченними для всіх ${\displaystyle n>0}$, то будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle f:|K|\to |K|}$має нерухомі точки. Дане твердження є правильним, тому що ${\displaystyle H_{n}(K,\mathbb {Q} )\simeq H_{n}(K,\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} }$ і для кожної скінченної абелевої групи G, виконується ${\displaystyle G\otimes Q=0}$(тривіальна група), натомість для кожного лінійно зв'язного простору ${\displaystyle H_{n}(K,\mathbb {Q} )\simeq \mathbb {Q} }$ і для будь-якого неперервного відображення ${\displaystyle f:|K|\to |K|}$породжений гомоморфізм ${\displaystyle f_{*}^{0}:H_{0}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )}$є одиничним відображенням одновимірного векторного простору; відповідно ${\displaystyle \mathrm {Tr} (f_{*}^{0})}$і тому ${\displaystyle \Lambda _{f}=1.}$

Наслідками цього твердження є:

• Якщо K є стягуваним простором, наприклад кулею, то ${\displaystyle H_{n}(K)=0}$ для всіх ${\displaystyle n>0}$то будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle f:|K|\to |K|}$має нерухомі точки. Таким чином теорема Брауера про нерухомі точки є частковим випадком теореми Лефшеца.
• Для дійсного проективного простору ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$де ${\displaystyle n}$є парним числом для всіх ${\displaystyle r>0}$гомологічні групи ${\displaystyle H_{r}(K)}$є рівними ${\displaystyle 0}$або ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$і тому будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle f:\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$має нерухомі точки.

Неперервні відображення на сферах

Нехай тепер ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$ — неперервне відображення сфери, що не має нерухомих точок. Єдиними ненульовими гомологічним групами у цьому випадку є ${\displaystyle H_{0}(S^{n},\mathbb {Q} )\simeq H_{n}(S^{n},\mathbb {Q} )\simeq \mathbb {Q} }$ і ${\displaystyle f_{*}^{0}:H_{0}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )}$є одиничним лінійним відображенням, а ${\displaystyle f_{*}^{n}:H_{n}(X,\mathbb {Q} )\to H_{n}(X,\mathbb {Q} )}$задається як ${\displaystyle f_{*}^{n}(\sigma )=d\sigma }$для деякого раціонального числа d. Тоді ${\displaystyle \Lambda _{f}=1+(-1)^{n}d=0}$ і тому ${\displaystyle d=(-1)^{n+1}}$.

• Наслідком цього твердження є те, що для парного числа ${\displaystyle n}$для довільного неперервного відображення ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$ гомотопного одиничному існують нерухомі точки. Звідси зокрема отримується твердження про відсутність неперервних дотичних векторних полів, що не є рівні нулю в усіх точках для сфер ${\displaystyle S^{2n}}$.

Компактні групи Лі

Нехай тепер G — лінійно зв'язна компактна група Лі і T — максимальний тор у цій групі. Позначимо X = G/T. Тоді X є компактним многовидом і для кожного ${\displaystyle g\in G}$ відображення

${\displaystyle f_{g}:X\to X\quad f_{g}(xT)=gxT}$

є диференційовним. Оскільки група є лінійно зв'язною то всі відображення ${\displaystyle f_{g}}$ є гомотопно еквівалентними одиничному відображенню і тому числа Лефшеца всіх цих відображень є рівними характеристиці Ейлера простору X. Можна довести, що ${\displaystyle \chi (X)=\left|N(T)/T\right|,}$ тобто порядку факторгрупи нормалізатора максимального тора по самому максимальному тору. Ця факторгрупа завжди є скінченною.

З теореми Лефшеца випливає, що кожне відображення ${\displaystyle f_{g}}$ має нерухому точку для якої ${\displaystyle xT=gxT}$. Тоді зокрема ${\displaystyle x^{-1}gx\in T}$, тобто кожен елемент групи G є спряженим із деяким елементом максимального тора T. Якщо взяти топологічний генератор якогось іншого тора (топологічним генератором групи називається елемент ${\displaystyle g}$такий, що множина степенів ${\displaystyle g^{n}}$є щільною у групі; для максимальних торів у компактних групах Лі топологічні генератори завжди існують) то звідси випливає, що два максимальні тори у групі G є спряженими. Це твердження є важливим у теорії представлень компактних груп Лі.

Див. також

• Симпліційний комплекс
• Сингулярні гомології
• Теорема Брауера про нерухому точку

Література

• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619