Теорема Крамера про розклад нормального розподілу

Теорема Крамера про розклад нормального розподілу — твердження в теорії ймовірностей. Легко бачити, що якщо випадкові величини ${\displaystyle \xi _{1}}$ і ${\displaystyle \xi _{2}}$ незалежні та нормально розподілені, то їх сума також нормально розподілена. Виявляється, що має місце і зворотнє твердження. Цей результат був передбачений П.Леві[1] та доведений Г.Крамером^[en][2]. Наслідком отримання цього результату було виникнення нового напрямку в теорії ймовірностей — теорії розкладів випадкових величин на незалежні доданки (арифметики ймовірнісних розподілів)[3].

Формулювання теореми

Нехай випадкова величина ${\displaystyle \xi }$ має нормальний розподіл та може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин ${\displaystyle \xi =\xi _{1}+\xi _{2}}$. Тоді випадкові величини ${\displaystyle \xi _{1}}$ та ${\displaystyle \xi _{2}}$ також  нормально розподілені.

Доведення теореми Крамера про розклад нормального розподілу спирається на теорію цілих функцій.

Див. також

• Теорема Крамера для локально компактних абелевих груп

Джерела

1. Paul Lévy: Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires indépendantes ou enchaînées. J. Math. Pures Appl. 14, 1935, S. 347–402
2. Cramer, Harald. Uber eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion. // Math. Z.. — 1936. — Т. 41, № 1. — С. 405-114.
3. Линник Ю. В., Островский И. В. (1972). Разложения случайных величин и векторов. Москва: Наука.