Сублінійна функція

Сублінійною функцією в математиці називається функція ${\displaystyle f:V\rightarrow \mathbb {R} }$ над дійсним векторним простором V (більш загально замість поля дійсних чисел можна розглядати довільне впорядковане поле), для якої виконуються такі умови:

${\displaystyle f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)}$  для всіх ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} _{+}}$ і всіх x ∈ V (додатна однорідність),

${\displaystyle f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)}$  для всіх x, y ∈ V (субадитивність).

Еквівалентні визначення

Еквівалентно у визначенні умову субадитивності можна замінити умовою опуклості, згідно з якою для функції має виконуватися нерівність:

${\displaystyle f(\gamma x+(1-\gamma )y)\leqslant \gamma f(x)+(1-\gamma )f(y)}$  для всіх x, y ∈ V і ${\displaystyle 0\leqslant \gamma \leqslant 1}$.

Справді, якщо функція є додатно однорідною і опуклою то:

${\displaystyle f(x+y)=2f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leqslant 2\left(f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\right)=f(x)+f(y).}$

З сублінійності і додатної однорідності теж, очевидно, випливає опуклість. Зважаючи на це альтернативне визначення такий тип функцій іноді називають однорідно-опуклими. Інша поширена назва функціонал Банаха, зважаючи на появу такого типу функціоналів у твердженні теореми Гана — Банаха.

Інше альтернативне визначення: функція ${\displaystyle f:V\rightarrow \mathbb {R} }$ є сублінійною тоді і лише тоді коли виконується умова:

${\displaystyle f(\gamma x+\delta y)\leqslant \gamma f(x)+(1-\gamma )f(y)}$  для всіх x, y ∈ V і всіх ${\displaystyle 0<\gamma ,\delta }$.

Приклади

• Кожна лінійна функція є, очевидно, сублінійною. Сублінійною буде також і функція ${\displaystyle p(x)=|f(x)|}$, якщо ${\displaystyle f(x)}$ — лінійна.
• Довжина вектора в n-вимірному евклідовому просторі є сублінійною функцією. Тут умова субадитивності означає, що довжина суми двох векторів не перевищує суми їх довжин (нерівність трикутника), а додатна однорідність безпосередньо випливає з визначення довжини вектора в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

3. Нехай M — простір обмежених послідовностей ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots ).}$ Функціонал:

${\displaystyle f(x)=\sup _{i}|x_{i}|}$

є сублінійним.

Властивості

• ${\displaystyle f(0)=0.}$ Дане твердження одержується підстановкою x = 0 в рівняння додатної однорідності.
• Ненульова сублінійна функція може бути невід'ємною, але якщо ${\displaystyle f(x)\leqslant 0,\,\forall x\in V}$ тоді дана функція всюди рівна нулю. Це випливає з нерівності:

${\displaystyle 0=f(x+(-x))\leqslant f(x)+f(-x),\,\forall x\in V}$

згідно з якою, якщо f(x) є від'ємним числом, то f(-x) має бути додатним.

• Для будь-якого ${\displaystyle \gamma }$ виконується нерівність:

${\displaystyle f(\gamma x)\geqslant \gamma f\left(x\right)}$

При ${\displaystyle \gamma >0}$ це випливає з означення додатної однорідності, при ${\displaystyle \gamma =0}$ - з першої властивості, якщо ж ${\displaystyle \gamma <0}$, то з нерівності у попередній властивості отримуємо:

${\displaystyle 0\leqslant f(\gamma x)+f(|\gamma |x)=f(\gamma x)+|\gamma |f(x)}$

або:

${\displaystyle f(\gamma x)\geqslant -|\gamma |f(x)=\gamma f(x).}$

Див. також

• Теорема Гана — Банаха

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)