Символьне інтегрування

В математичному аналізі символьне інтегрування — знаходження первісної або невизначеного інтеграла функції f(x), тобто пошук диференційовної функції F(x), такої що

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x).}$

Позначення:

${\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx.}$

Термін символьне використовується, щоб відрізнити від чисельного інтегрування, в якому обчислюється конкретне значення визначеного інтеграла ${\displaystyle \textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$ за значеннями f(x).

Обидві задачі мали велику теоретичну і практичну значущість задовго до ери цифрових комп'ютерів, але тепер їх дослідження проводиться в галузі інформатики, оскільки створені й розвиваються системи комп'ютерної алгебри.

Пошук похідної — простий процес, для якого легко визначити алгоритм. Обернена задача значно складніша, часто інтеграл від елементарної функції не подаваний у замкненій формі (комбінації скінченного числа елементарних функцій). Див. «Первісна».

Процедура, звана алгоритмом Ріша, здатна визначити, чи існує інтеграл і знайти його для багатьох класів функцій. Цей алгоритм продовжують вдосконалювати.

Приклади

${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$

символьний результат (невизначений інтеграл), C — стала інтегрування;

${\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}x^{2}\,dx={\frac {2}{3}}}$

символьний результат (визначений інтеграл);

${\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}x^{2}\,dx\approx 0{,}6667}$

чисельний результат для даного прикладу.

Див. також

• Елементарні функції
• Первісна
• Методи інтегрування
• Система комп'ютерної алгебри
• Алгоритм Ріша

Література

• Symbolic Integration 1 (transcendental functions) by Manuel Bronstein, 1997 by Springer-Verlag, ISBN 3-540-60521-5
• Joel Moses, Symbolic integration: the stormy decade, Proceedings of the second ACM symposium on and Symbolic алгебраїчна manipulation, p.427-440, March 23-25, 1971, Los Angeles, California, United States
• K. O. Geddes and T. C. Scott, Recipes for Classes of Definite Інтегралів Involving Exponentials and Логарифмів, Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (held at MIT June 12, 1989), edited by E. Kaltofen and S. M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192—201. [1]
• K. O Geddes, M. L. Glasser, R. A. Moore and T. C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Інтегралів Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149—165, [2]^[недоступне посилання з Февраль 2020]

Посилання

• Weisstein, Eric W. Risch Algorithm(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Wolfram Integrator — обчислення інтегралів онлайн за допомогою системи Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — символьні обчислення онлайн
• Онлайн-калькулятор інтегралів
• Онлайн-калькулятор інтегралів з докладним покроковим розв'язанням