uk %D0%A0%D0%B5%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B5 %D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5 %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE

У теорії чисел регулярне просте число — будь-яке просте число $p$ , для якого число класів ідеалів кругового поля не ділиться на $p$ . Решта простих непарних чисел називають іррегулярними.

Декілька перших регулярних простих чисел^[1]:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …

Властивості

Регулярні числа це точно куммерові прості числа, проте доведення цього досить складне. Для перевірки числа на куммеровість можна використати так званий критерій Куммера: $p$ куммерове тоді й лише тоді, коли чисельники всіх чисел Бернуллі $B_{2},B_{4},\dots ,B_{p-3}$ не діляться на $p$ .

Припускають, що регулярних простих чисел дуже багато, проте це твердження не доведено.

Регулярні числа ввів Куммер^[2], коли намагався довести теорему Ферма. Одна з отриманих теорем, з урахуванням збігу регулярності та кумеровості, стверджує:

Якщо просте

p

регулярне, то для нього рівняння

x^{p}+y^{p}=z^{p}

не має розв'язків у натуральних числах.

Іррегулярне просте число

Просте число, яке не є регулярним, називають іррегулярним простим числом. Декілька перших іррегулярних простих чисел^[3]:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, …

Єнсен довів, що існує безліч іррегулярних простих чисел.

Іррегулярні пари

Якщо $p$ — іррегулярне просте число, то $p$ ділить без остачі чисельник числа Бернуллі $B_{2k}$ для деякого парного індексу $2k$ в інтервалі $0<2k<p-1$ . При цьому пару чисел $(p,2k)$ називають іррегулярною парою. Перші кілька іррегулярних пар^[4]:

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), …

Для заданого простого $p$ число таких пар називають індексом нерегулярності числа $p$ . Таким чином, просте число регулярне тоді й лише тоді, коли індекс іррегулярності дорівнює нулю. Аналогічно, просте число іррегулярне тоді й лише тоді, коли його індекс іррегулярності додатний.