Простір — топологічний простір, що задовольняє одній з найслабших аксіом відокремлюваності . Іноді простори, що задовольняють цій умові також називаються просторами Фреше, але цей термін також використовується в інших значеннях.
Визначення
Топологічний простір називається простором , якщо для будь-яких двох різних точок існує відкрита множина , така що але .
Еквівалентно можна дати інші визначення, які разом дають основні властивості просторів:
- Простір є простором тоді і тільки тоді, коли кожна одноточкова підмножина в є замкнутою.
- Простір є простором тоді і тільки тоді, коли кожна його скінченна підмножина є замкнутою.
- Простір є простором тоді і тільки тоді, коли кожна його коскінченна підмножина (доповнення до скінченної підмножини) є відкритою.
- Простір є простором тоді і тільки тоді, коли кожна його підмножина рівна перетину всіх відкритих підмножин, що її містять.
- Простір є простором тоді і тільки тоді, коли для кожної його підмножини S і кожної точки , x є граничною точкою множини S якщо і тільки якщо довільний відкритий окіл точки x містить нескінченну кількість точок з множини S.
Приклади і властивості
- Більшість типових прикладів топологічних просторів є просторами і простори, що не є вважаються "дуже патологічними". Прикладами просторів є зокрема: простір дійсних чисел із звичайною топологією, евклідові простори і, в більш загальному випадку, метричні простору. Кожен дискретний простір є простором ; навпаки, кожен скінченний простір є дискретним.
- Кожен гаусдорфів простір є простором .
- Прикладом простору, що задовольняє аксіому , але не є гаусдорфовим є множина дійсних чисел з топологією де відкритими множинами є доповнення скінченних множин, а також і весь простір. Іншими важливими прикладами є топологія Зариського для алгебричних многовидів над алгебрично замкнутим полем, а також кокомпактна топологія на множині дійсних чисел.
- Кожен простір є простором Т0 , проте є простори , які не є просторами . Наприклад, множина з топологією є простором , але не . Іншим таким прикладом є топологія перекривних інтервалів. Також спектр кільця із топологією Зариського є простором але в загальному випадку не є простором .
- Підмножина простору з індукованою топологією є простором .
- Декартовий добуток просторів теж є простором .
Див. також
Література