Кокомпактна топологія

Нехай ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ — евклідів простір дійсних чисел (з природною евклідовою топологією).

Визначимо нову топологію ${\displaystyle \tau _{*}=\{X\subset \mathbb {R} |X=\varnothing }$ або ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash X}$ компактна в ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )\}}$, яка називається кокомпактною топологією на ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Властивості

• ${\displaystyle \tau _{*}}$ сильніша за коскінченну топологію на ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• (${\displaystyle \mathbb {R} ,\tau _{*}}$) є T₁ , але не T₂ простором. Тому (${\displaystyle \mathbb {R} ,\tau _{*}}$)  не є T_2½, T₃, T₄, T₅  простором.
• (${\displaystyle \mathbb {R} ,\tau _{*}}$) гіперзв'язний, зв'язний, локально зв'язний, але не ультразв'язний простір.
• (${\displaystyle \mathbb {R} ,\tau _{*}}$) задовольняє першу та другу аксіоми зліченності.
• (${\displaystyle \mathbb {R} ,\tau _{*}}$) компактний.
• (${\displaystyle \mathbb {R} ,\tau _{*}}$) секвенціально компактний.
• (${\displaystyle \mathbb {R} ,\tau _{*}}$) сепарабельний.

Література

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446