Похідна Фреше

Похідна́ Фреше́ — узагальнення поняття похідної на випадок нормованих просторів. Названа на честь французького математика Моріса Фреше.

Визначення

Нехай X та Y — лінійні нормовані простори, а G — відкрита множина простору X. Відображення (функція, оператор) ${\displaystyle f:G\rightarrow Y}$ називається диференційовним за Фреше в точці ${\displaystyle x\in G}$, якщо існує лінійний неперервний оператор ${\displaystyle L_{x}:X\rightarrow Y}$, такий що для довільного ${\displaystyle h\in X}$, що задовольняє умові ${\displaystyle x+h\in G}$

${\displaystyle \Delta f=f(x+h)-f(x)=L_{x}h+\omega (x,h)}$,

де ${\displaystyle {\frac {\omega (x,h)}{\parallel h\parallel }}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ в розумінні збіжності по нормі в просторі Y.

Головна частина ${\displaystyle L_{x}h}$, що лінійно залежить від h та приросту ${\displaystyle \Delta f}$ називається диференціалом Фреше відображення f в точці х і позначається ${\displaystyle df(x,h)}$, а вираз ${\displaystyle \omega (x,h)}$ називається залишком приросту.

Лінійний оператор ${\displaystyle L_{x}}$ називається похідною Фреше відображення f в точці х і позначається ${\displaystyle f^{'}(x)}$.

Властивості

Нехай ${\displaystyle f,g:G\rightarrow Y}$ — відображення нормованих просторів і ${\displaystyle \in G}$. Похідна Фреше задовольняє такі властивості:

• ${\displaystyle (f+g)'(\varphi )=A'(\varphi )+B'(\varphi )}$
• ${\displaystyle (\lambda f)'(\varphi )=\lambda f'(\varphi )}$, де λ — деякий скаляр з поля над яким визначені нормовані простори.
• ${\displaystyle (f\circ g)'(\varphi )=(f'\circ g)(\varphi )\,g'(\varphi )}$.

Див. також

• Похідна Гато

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Фреше производная. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5. Советская энциклопедия, 1984.