Плюккерові координати

Плю́керові координа́ти — координати (набори чисел), що визначають підпростори ${\displaystyle M}$ (довільної розмірності) векторного або проєктивного простору ${\displaystyle L}$. Є узагальненням однорідних координат точок проєктивного простору та також визначені з точністю до множення на довільний ненульовий множник. Уперше ввів Плюккер у окремому випадку проєктивних прямих у тривимірному проєктивному просторі, що для векторних просторів відповідає випадку ${\displaystyle \dim M=2}$ і ${\displaystyle \dim L=4}$.

Визначення в координатах

Нехай ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle m}$-вимірний підпростір ${\displaystyle n}$-вимірного векторного простору ${\displaystyle L}$. Для визначення плюкерових координат підпростору ${\displaystyle M}$ виберемо довільний базис ${\displaystyle e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}}$ в ${\displaystyle L}$ і довільний базис ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}}$ в ${\displaystyle M}$. Кожен вектор ${\displaystyle a_{i}}$ має в базисі ${\displaystyle e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}}$ координати ${\displaystyle (a_{i1},\;\ldots ,\;a_{in})}$, тобто ${\displaystyle a_{i}=a_{i1}e_{1}+\ldots +a_{in}e_{n}}$. Записуючи координати векторів ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}}$ у вигляді рядків, отримаємо матрицю

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},}$

ранг якої дорівнює ${\displaystyle m}$. Позначимо через ${\displaystyle M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$ мінор матриці ${\displaystyle A}$, що складається зі стовпців з номерами ${\displaystyle i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$, які набувають значень від ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$. Числа ${\displaystyle M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$ незалежні: якщо набір індексів ${\displaystyle (i_{1},\;\ldots ,\;i_{m})}$ отримано з ${\displaystyle (j_{1},\;\ldots ,\;j_{m})}$ за допомогою перестановки ${\displaystyle \sigma \in S_{m}}$, то виконується рівність ${\displaystyle M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=\pm M_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m}}}$, де знак «плюс» або «мінус» відповідає тому, чи є перестановка ${\displaystyle \sigma }$ парною, чи непарною. Розглянута з точністю до множення на спільний ненульовий множник сукупність ${\displaystyle C_{n}^{m}}$ чисел ${\displaystyle p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$ для всіх упорядкованих наборів індексів ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m}}$, що набувають значень від ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$, називають плюккеровими координатами підпростору ${\displaystyle M}$.

Властивості

1. Незалежність від вибору базису.

Якщо в підпросторі ${\displaystyle M}$ вибрано інший базис ${\displaystyle a'_{1},\;\ldots ,\;a'_{m}}$, то новий набір плюккерових координат ${\displaystyle p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$ матиме вигляд ${\displaystyle p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$, де ${\displaystyle c}$ — деякий ненульовий множник. Справді, новий базис пов'язаний зі старими співвідношеннями ${\displaystyle a'_{i}=a'_{i1}a_{1}+\cdots +a'_{im}a_{m}}$, і визначник матриці ${\displaystyle (a'_{ij})}$ відмінний від нуля. Відповідно до визначення плюккерових координат і теореми про визначник добутку матриць, маємо ${\displaystyle p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$, де ${\displaystyle c=\det(a'_{ij})}$.

2. Грассманіан.

Ставлячи у відповідність кожному ${\displaystyle m}$-вимірному підпростору ${\displaystyle M}$ набір його плюккерових координат ${\displaystyle p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$, ми зіставляємо ${\displaystyle M}$ деяку точку проєктивного простору ${\displaystyle P}$ розмірності ${\displaystyle C_{n}^{m}-1}$. Побудоване в такий спосіб відображення ${\displaystyle g}$ ін'єктивне, але не сюр'єктивне (тобто його образ не збігається з усім простором ${\displaystyle P}$). Образ множини всіх ${\displaystyle m}$-вимірних підпросторів ${\displaystyle n}$-вимірного простору при відображенні ${\displaystyle g}$ є ${\displaystyle m(n-m)}$-вимірним проєктивним алгебричним многовидом ${\displaystyle P}$, що називається многовидом Грассмана або грассманіаном і позначається ${\displaystyle G(m,\;n)}$ або ${\displaystyle \mathrm {Gr} _{m}(L)}$.

3. Співвідношення Плюккера.

Критерієм, за яким можна визначити, чи належить точка проєктивного простору ${\displaystyle P}$ грасманіану ${\displaystyle G(m,\;n)}$ є так звані співвідношення Плюккера:

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}k_{r}}\cdot p_{k_{1},\;\ldots ,\;{\breve {k_{r}}},\;\ldots ,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \,(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1}),}$

де всі індекси в наборах ${\displaystyle (j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})}$ і ${\displaystyle (k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})}$ набувають значень від ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$, знак ${\displaystyle {\breve {}}}$ позначає пропуск індексу, що стоїть під ним. Ця сума виходить, якщо із сукупності ${\displaystyle (k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})}$ викинути почергово по одному індексу і цей індекс приписати праворуч до набору ${\displaystyle (j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})}$, потім два числа, що вийшли ${\displaystyle p_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m}}=M_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m}}}$ перемножити (зауважимо, що ці числа є мінорами матриці ${\displaystyle A}$, але не обов'язково є плюккеровими координатами, оскільки набори їхніх індексів не обов'язково впорядковані за зростанням) і потім взяти суму всіх таких добутків зі знаками, що чергуються. Співвідношення Плюккера виконуються для кожного ${\displaystyle m}$-вимірного підпростору ${\displaystyle M\subset L}$. І навпаки, якщо однорідні координати ${\displaystyle p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$, ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m}}$, деякої точки проєктивного простору ${\displaystyle P}$ задовольняють цим співвідношенням, то ця точка при відображенні ${\displaystyle g}$ відповідає деякому підпростору ${\displaystyle M\subset L}$, тобто належить ${\displaystyle G(m,\;n)}$.

Мовою матриць це означає: якщо числа ${\displaystyle p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$ задовольняють співвідношенням Плюккера, існує матриця, для якої вони є мінорами максимального порядку, а якщо ні, то не існує такої матриці. Це розв'язує задачу про можливість відновлення матриці за її мінорами максимального порядку з точністю до лінійного перетворення рядків.

Приклад

У разі ${\displaystyle n=4}$ і ${\displaystyle m=2}$ маємо ${\displaystyle C_{4}^{2}=6}$, і отже, кожна площина ${\displaystyle M}$ у 4-вимірному векторному просторі має ${\displaystyle 6}$ плюккерових координат: ${\displaystyle p_{12}}$, ${\displaystyle p_{13}}$, ${\displaystyle p_{14}}$, ${\displaystyle p_{23}}$, ${\displaystyle p_{24}}$, ${\displaystyle p_{34}}$. Вибираючи в площині ${\displaystyle M}$ базис ${\displaystyle a_{1},\;a_{2}}$ так, що ${\displaystyle a_{1}=e_{1}}$ і ${\displaystyle a_{2}=e_{2}}$, отримуємо матрицю

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix}},}$

звідки знаходимо:

${\displaystyle p_{12}=1}$, ${\displaystyle p_{13}=\gamma }$, ${\displaystyle p_{14}=\delta }$, ${\displaystyle p_{23}=-\alpha }$, ${\displaystyle p_{24}=-\beta }$, ${\displaystyle p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma }$ .

Очевидно, що виконується співвідношення

${\displaystyle p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0}$ ,

яке зберігається при множенні всіх ${\displaystyle p_{i_{1}i_{2}}}$ на будь-який спільний множник, тобто не залежить від вибору базису. Це і є співвідношення Плюккера, яке визначає проєктивну квадрику ${\displaystyle G(2,\;4)}$ у 5-вимірному проєктивному просторі.

Див. також

• Задача Кіркмана про школярок

Література

• Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М. : изд-во МГУ, 1962.
• Зеликин М. И.^[ru]. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М. : Факториал, 1998.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — М. : ИЛ, 1954. — Т. 1. (Тут плюккерові координати названо грассмановими).
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Физматлит, 2009.
• Casas-Alvero E.^[en]. Analytic Projective Geometry. — European Mathematical Society, 2014.