Квадрика

Квадрика — n-вимірна гіперповерхня в n+1-вимірному просторі, що задана як множина нулів многочлена другого степеня. Якщо ввести координати {x₁, x₂, ..., x_n+1} (в евклідовому або афінному просторі), загальне рівняння квадрики матиме вигляд[1]

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n+1}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{n+1}P_{i}x_{i}+R=0.}$

Це рівняння можна записати більш компактно в матричних термінах:

${\displaystyle \mathrm {X} Q\mathrm {X} ^{T}+P\mathrm {X} ^{T}+R=0\,}$

де X={x₁, x₂, ..., x_n+1}  — вектор-рядок;
X^T — транспонований вектор-рядок (тобто вектор-стовпець);
Q — матриця розміру (n+1)×(n+1) (передбачається, що хоча б один її елемент ненульовий);
P — (n+1)-вимірний вектор-рядок;
R — константа.

Найбільш часто розглядають квадрики над дійсними або комплексними числами. Означення можна поширити на квадрики в проєктивному просторі.

Більш загально, множину нулів системи поліноміальних рівнянь можна розглядати як алгебричний многовид. Таким чином, квадрика є (аффінним або проєктивним) алгебричним многовидом другого степеня і ковимірності 1.

Квадрика в евклідовому просторі

Квадрики на евклідовій площині відповідають випадку n = 1, тобто є плоскими кривими. Зазвичай їх називають не квадриками, а коніками або конічними перетинами.

Еліпс (e = 1/2), парабола (e=1) і гіпербола (e = 2) з фіксованим фокусом F та директрисою.

Квадрики в (тривимірному дійсному) евклідовому просторі мають розмірність n = 2 і називаються поверхнями другого порядку. Провівши ортогональну заміну базису, будь-яку квадрику в евклідовому просторі можна звести до нормальної форми. У тривимірному евклідовому просторі існує 17 таких форм.[2] З них 5 є невиродженими (тобто відповідна їм білінійна форма Q є невиродженою). Вироджені форми можуть мати вигляд двох площин (паралельних, або таких, що перетинаються), двох прямих (паралельних, або таких, що перетинаються), точки, а також є випадок квадрики, яка не містить дійсних точок.[3]

Невироджені дійсні квадрики в евклідовому просторі
Еліпсоїд	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
Сфероїд (спеціальна форма еліпсоїда)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Сфера (спеціальна форма сфероїда)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,}$
Еліптичний параболоїд	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
Круговий параболоїд (спеціальна форма еліптичного параболоїда)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,}$
Гіперболічний параболоїд	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
Однопорожнинний гіперболоїд	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
Двопорожнинний гіперболоїд	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,}$
Вироджені квадрики в евклідовому просторі
Еліптичний конус	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,}$
Круговий конус (спеціальна форма еліптичного конуса)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=0\,}$
Еліптичний циліндр	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Круговий циліндр (спеціальна форма еліптичного циліндра)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,}$
Гіперболічний циліндр	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Параболічний циліндр	${\displaystyle x^{2}+2ay=0\,}$

Афінний та проєктивний простір

Класифікація квадрик у тривимірному афінному просторі збігається з класифікацією квадрик в евклідовому просторі.[4] Різниця полягає в тому, що будь-які дві квадрики з одного класу можна перевести одну в одну афінним перетворенням, тоді як відповідне ортогональне перетворення існує не завжди (наприклад, еліпсоїд ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ неможливо перевести рухом в еліпсоїд ${\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=1}$).

Від квадрики в афінному просторі можна перейти до квадрики в проєктивному просторі, ввівши однорідні координати. Нехай у афінному просторі введені координати ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots x_{n+1}),}$ тоді в рівнянні квадрики достатньо помножити лінійні члени на ${\displaystyle x_{0},}$ а вільний член на ${\displaystyle x_{0}^{2}.}$ Рівняння проєктивної квадрики в однорідних координатах має вигляд

${\displaystyle Q(x)=\sum _{ij}a_{ij}x_{i}x_{j}=0.}$

Без обмеження загальности можна вважати, що матриця ${\displaystyle Q}$ симетрична, тобто ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}.}$ Проєктивна квадрика називається невиродженою, якщо відповідна їй квадратична форма невирождена.

У дійсному проєктивному просторі, відповідно до закону інерції, будь-яку невироджену квадратичну форму можна звести (проєктивним перетворенням) до вигляду

${\displaystyle Q(x)=\pm x_{0}^{2}\pm x_{1}^{2}\pm \cdots \pm x_{n+1}^{2}}$

Оскільки сигнатура квадратичної форми є її інваріантом, в розмірності n = 2 існує рівно три класи еквівалентности:

${\displaystyle Q(x)={\begin{cases}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{cases}}}$

Еліпсоїд, еліптичний параболоїд і двопорожнинний гіперболоїд належать другому класу, а гіперболічний параболоїд і однопорожнинний гіперболоїд — третьому (останні дві квадрики є прикладами лінійчатих поверхонь). Жодна квадрика в дійсному проєктивному просторі не належить першому класу, тому що відповідне рівняння визначає точку, а не поверхню. У комплексному проєктивному просторі всі невироджені квадрики еквівалентні.

Імовірність і статистика

Еліптичний розподіл, узагальнює багатовимірний нормальний розподіл і використовується в галузі фінансів, може бути визначеним з точки зору його функцій щільності. Коли він існує, функції щільності F мають структуру:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )\Sigma ^{-1}(x-\mu )^{T})}$

де ${\displaystyle k}$ це масштабний коефіцієнт, ${\displaystyle x}$ це ${\displaystyle n}$-мірний випадковий вектор-рядок з середнім вектором ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \Sigma }$ це позитивна матриця, яка пропорційна коваріаційній матриці, якщо остання існує, та ${\displaystyle g}$ є функцією, що відображає від невід'ємних до невід'ємних чисел кінцеву площу під кривою.[5] Багатовимірний нормальний розподіл є окремим випадком, в якому${\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}$ для квадратичної форми ${\displaystyle z}$.

Таким чином, функція щільності є скалярним перетворенням квадратичного виразу. Крім того, рівняння для будь-якої поверхні з щільністю заявляє, що квадратичний вираз дорівнює деякій константі, що відносяться до цього значення щільності.

Примітки

1. Silvio Levy. Quadrics. Geometry Formulas and Facts, excerpted from 30th Edition of the CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press) (англ.). Архів оригіналу за 18 Липня 2018. Процитовано 30 липня 2013.
2. Sameen Ahmed Khan. Quadratic Surfaces in Science and Engineering (PDF) (англ.). Bulletin of the IAPT, 2(11), 327—330 (November 2010). (Publication of the Indian Association of Physics Teachers). Архів (PDF) оригіналу за 13 серпня 2013. Процитовано 30 липня 2013.
3. Stewart Venit, Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.
4. П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. С.275.
5. Frahm, G., Junker, M., & Szimayer, A. (2003). Elliptical copulas: applicability and limitations. Statistics & Probability Letters, 63(3), 275—286.