Грассманіан

Грассманіаном ${\displaystyle Gr(k,V)}$ в математиці називають множину лінійних підпросторів розмірності k лінійного простору V. Як правило цій множині надається деяка додаткова структура. Зокрема для випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел можна ввести природну структуру гладкого многовиду. В цьому випадку також використовується термін многовид Грассмана. Мають широке застосування в лінійній алгебрі, диференціальній і алгебраїчній геометрії, а також в інформатиці, зокрема комп'ютерному баченні. Названі на честь німецького математика Германа Грассмана.

Визначення

Нехай ${\displaystyle V}$ є лінійним простором розмірності n над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Грассманіаном ${\displaystyle Gr(k,V)}$ називається множина всіх лінійних підпросторів простору V розмірності k.

Пов'язаним є поняття множини ${\displaystyle St(k,V)}$ елементами якої є всі можливі набори k лінійно незалежних векторів. Кожен такий набір однозначно визначає лінійний підпростір розмірності k, тобто елемент грассманіана. Але навпаки кожному підпростору розмірності k відповідають різні елементи ${\displaystyle St(k,V).}$

Ввівши деякий базис ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ лінійного простору V, кожен вектор однозначно визначається своїми координатами в цьому базисі. Тоді k лінійно незалежних векторів можна ідентифікувати зі стовпцями деякої матриці розмірності n×k, ранг якої рівний k: ${\displaystyle \{A\in M(n,k,K),\,\operatorname {rank} A=k\}.}$

У випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел ${\displaystyle St(k,V)}$ є гладким многовидом, що називається многовидом Штіфеля.

Топологія на грассманіані

Нехай тепер V — лінійний простір над полем дійсних чисел. Топологію на грассманіані найпростіше визначити через топологію на ${\displaystyle St(k,V)}$ через його ідентифікацію з підмножиною множини ${\displaystyle M(n,k,\mathbb {R} ).}$ Спершу на ${\displaystyle M(n,k,\mathbb {R} )}$ існує природна топологія породжена якоюсь із норм матриць (наприклад нормою Фробеніуса).

Множина ${\displaystyle \{A\in M(n,k,\mathbb {R} ),\,\operatorname {rank} A=k\}}$ є відкритою в цій топології адже є прообразом відкритої множини ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ щодо неперервного відображення ${\displaystyle f(A)=\det(A^{T}A).}$ На ${\displaystyle St(k,V)}$ вводиться індукована топологія з топології на ${\displaystyle M(n,k,\mathbb {R} ).}$

Якщо тепер ${\displaystyle A\in St(k,V)}$ — деякий набір k лінійно незалежних векторів то їх лінійна оболонка ${\displaystyle L(A)}$ очевидно є елементом ${\displaystyle Gr(k,V).}$ Тому можна визначити відображення ${\displaystyle \phi :St(k,V)\to Gr(k,V)}$ визначене рівністю ${\displaystyle \phi (A)=L(A).}$ Грассмановою топологією називається максимальна топологія для якої це відображення є неперервним. Тобто підмножина ${\displaystyle G\subset Gr(k,V)}$ є відкритою у цій топології тоді й лише тоді коли ${\displaystyle \phi ^{-1}(G)}$ є відкритою в ${\displaystyle St(k,V)}$.

Властивості топології

• Введена таким чином топологія є Гаусдорфовою.
• Грассманіан із цією топологією є компактним простором.
• Нехай Q — лінійний підпростір простору V розмірності n - k. Визначимо множину ${\displaystyle G=\{P\in Gr(k,V):P\cap Q=\{0\}\}.}$ Дана множина G є відкритою.

Нехай ${\displaystyle P\in G}$ і ${\displaystyle A\in \phi ^{-1}(P).}$ Як і раніше ідентифікуємо A з елементом з ${\displaystyle M(n,k,\mathbb {R} )}$ де стовпці матриці є координатами векторів у деякому базисі ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}.}$ Нехай ${\displaystyle A'\in M(n,n-k,\mathbb {R} )}$ — матриця стовпцями якої є координати деяких базисних векторів підпростору Q відносно ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}.}$ Очевидно що ${\displaystyle P\cap Q=\{0\}}$ тоді й лише тоді коли визначник блокової матриці ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&A^{'}\end{bmatrix}}}$ не дорівнює нулю. Але зважаючи, що визначник є многочленом від елементів матриці, звідси відразу стає зрозуміло, що при малій зміні елементів у перших k стовпцях він знову не буде рівним нулю. І відповідно підпростір породжений цими зміненими стовпцями матиме нульовий перетин з Q. Тобто якщо ${\displaystyle A\in \phi ^{-1}(G)}$ то й деякий окіл A є підмножиною ${\displaystyle \phi ^{-1}(G).}$ Звідси випливає, що множина ${\displaystyle \phi ^{-1}(G)}$ є відкритою і згідно визначення грассманової топології G теж є відкритою.

Структура гладкого многовиду

Як фактор-многовид многовиду Штіфеля

Оскільки ${\displaystyle St(k,V)}$ можна визначити як відкриту підмножину ${\displaystyle \mathbb {R} ^{nk}}$ на цій множині природно вводиться структура гладкого многовида. Для ${\displaystyle A\in St(k,V)}$ маємо ${\displaystyle \phi ^{-1}(\phi (A))=\{AB,B\in GL(k,\mathbb {R} )\},}$ де ${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$ — загальна лінійна група. Таким чином ${\displaystyle Gr(k,V)\simeq St(k,V)/GL(k,\mathbb {R} )}$ і оскільки ${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$ є групою Лі дія якої на ${\displaystyle St(k,V)}$ є гладкою, вільною і власною (прообраз компактної множини є компактним), то на ${\displaystyle Gr(k,V)}$ можна ввести структуру фактор-многовиду.

Явний опис карт

Проте гладку структуру можна ввести і в більш наглядний спосіб. Нехай ${\displaystyle P\in Gr(k,V)}$ і Q лінійний підпростір у V розмірності n - k, такий що ${\displaystyle V=P\oplus Q.}$ Введемо базис ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P, а наступні n - k векторів є базисом простору Q.

Нехай ${\displaystyle G_{P}=\{P^{'}\in Gr(k,V):P^{'}\cap Q=\{0\}\}.}$ Як вказано вище ${\displaystyle G_{P}}$ є відкритою множиною і очевидно ${\displaystyle P\in G_{P}.}$ Тобто ${\displaystyle G_{P}}$ є околом P.

Якщо ${\displaystyle P^{'}\in G_{P}}$ то ${\displaystyle \forall x\in P^{'}\exists !p\in P,q\in Q:x=p+q,}$ при чому p = 0 тоді й лише тоді, коли x = 0. Тому можна розглянути два лінійні відображення ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{P}:P^{'}\to P}$ і ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Q}:P^{'}\to Q,}$ для яких в попередніх позначеннях ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{P}(x)=p,\,\operatorname {Pr} _{Q}(x)=q.}$

Лінійне відображення ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{P}}$ діє між двома просторами розмірності k і воно є ін'єктивним (${\displaystyle \operatorname {Pr} _{P}(x)=0\implies x\in Q\implies x=0}$ з визначення ${\displaystyle P^{'}}$). Звідси випливає, що воно є лінійним ізоморфізмом і існує обернене відображення. Тому можна визначити лінійне відображення ${\displaystyle D\in \displaystyle {\mathcal {L}}(P,Q):=\operatorname {Pr} _{Q}\circ \operatorname {Pr} _{P}^{-1}}$. Для введених раніше базисних векторів йому відповідає деяка матриця ${\displaystyle D\in M(n-k,k,\mathbb {R} ).}$ Відображення ${\displaystyle I+D}$ задає ізоморфізм між P і P^', зокрема стовпці, блокової матриці ${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{k}\\D\end{bmatrix}}}$ задають координати базисних векторів простору P^' щодо векторів ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}.}$ Якщо тепер ${\displaystyle D_{1},D_{2}\in M(n-k,k,\mathbb {R} )}$ — дві різні матриці то підпростори визначені ${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{k}\\D_{1}\end{bmatrix}}}$ і ${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{k}\\D_{2}\end{bmatrix}}}$ очевидно належать ${\displaystyle G_{P}}$ і є різними. Таким чином визначається бієктивне відображення ${\displaystyle \psi _{P}}$ між ${\displaystyle G_{P}}$ і ${\displaystyle M(n-k,k,\mathbb {R} ).}$ Не важко помітити, що воно є гомеоморфним.

Множина ${\displaystyle (G_{P},\psi _{P}),\,P\in Gr(k,V)}$ є покриттям простору ${\displaystyle Gr(k,V)}$ локальними картами тобто грассманіан є локально евклідовим простором розмірності k·(n-k).

Для перевірки властивостей гладкого многовида потрібно лише перевірити властивості перехідних відображень.

Нехай ${\displaystyle P_{1},P_{2}\in Gr(k,V),\,G_{P_{1}},G_{P_{2}},\psi _{P_{1}},\psi _{P_{2}}}$ — визначені як і раніше. Також визначимо ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}:V=P_{1}\oplus Q_{1}=P_{2}\oplus Q_{2}}$ і базисні вектори ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P₁, а наступні n - k векторів є базисом простору Q₁ і базисні вектори ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P₂, а наступні n - k векторів є базисом простору Q₂

Візьмемо тепер ${\displaystyle P_{3}\in G_{P_{1}}\cap G_{P_{2}}}$ тобто ${\displaystyle P_{3}\cap Q_{1}=P_{3}\cap Q_{2}=\{0\}.}$ Маємо ${\displaystyle \psi _{1}(P_{3})=A_{1}\in M(n-k,k,\mathbb {R} ),\,\psi _{2}(P_{3})=A_{2}\in M(n-k,k,\mathbb {R} ).}$Відповідно стовпці блокової матриці ${\displaystyle A^{'}={\begin{bmatrix}I_{k}\\A_{1}\end{bmatrix}}}$ задають координати базисних векторів простору ${\displaystyle P_{3}}$ щодо ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}.}$ Якщо ${\displaystyle B}$ — матриця переходу від базиса ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ до базиса ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ простору V, то стовпці матриці ${\displaystyle B^{'}=BA^{'}}$ є координатами тих самих базисних векторів простору ${\displaystyle P_{3}}$ щодо ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}.}$ Перепишемо останню матрицю у блочному виді: ${\displaystyle B^{'}={\begin{bmatrix}F\\H\end{bmatrix}}}$ де ${\displaystyle F\in M(k,k,\mathbb {R} ),\,H\in M(n-k,k,\mathbb {R} ).}$ Стовпці матриці ${\displaystyle B^{'}}$ є лінійно незалежними. Також лінійно незалежними є стовпці матриці F. Справді довільна лінійна комбінація, яка переводить стовпці матриці F в нуль і не всі коефіцієнти якої рівні нулю, переводить вектори визначені стовпцями ${\displaystyle B^{'}}$ в ненульовий елемент ${\displaystyle Q_{2}}$, що неможливо згідно з означеннями.

З аналогічних до попередніх міркувань маємо ${\displaystyle {\begin{bmatrix}F\\H\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{k}\\A_{2}\end{bmatrix}}X,}$ — де X, деяка матриця стовпці якої визначають координати лінійно незалежних векторів у підпросторі ${\displaystyle P_{2}}$ у базисі ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}.}$ З поданої рівності очевидно, що ${\displaystyle X=F}$ і, як наслідок ${\displaystyle A_{2}=HF^{-1}.}$

Тепер можна перевірити тип залежності елементів матриці ${\displaystyle A_{2}}$ від елементів матриці ${\displaystyle A_{1}.}$ З рівності ${\displaystyle B^{'}=BA^{'}}$ випливає, що коефіцієнти матриць ${\displaystyle B^{'},F,H}$ є афінними функціями від елементів матриці ${\displaystyle A_{1}.}$ З формули для оберненої матриці і попереднього випливає, що елементи матриці ${\displaystyle F^{-1}}$ є раціональними функціями від елементів ${\displaystyle A_{1}}$ знаменники яких ніколи в ${\displaystyle G_{P_{1}}\cap G_{P_{2}}}$ не рівні нулю. Ця ж залежність справедлива і для елементів матриці ${\displaystyle A_{2}=HF^{-1}.}$ Відповідно всі елементи матриці ${\displaystyle A_{2}}$ є гладкими функціями від елементів матриці ${\displaystyle A_{1},}$ тобто всі функції переходу ${\displaystyle \psi _{P_{1}P_{2}}=\psi _{P_{2}}\circ \psi _{P_{1}}}$ є гладкими.

Див. також

• Лінійний простір

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)
• Daniel Karrasch. An Introduction to Grassmann Manifolds and their Matrix Representation^[недоступне посилання з листопадаа 2019] (англ.)
• Dorde Baralic How to understand Grassmannians? [Архівовано 9 травня 2016 у Wayback Machine.] (англ.)