Нерівність Мінковського

Нері́вність Мінко́вського — це нерівність трикутника для векторного простору функцій з інтегрованим ${\displaystyle p}$-им ступенем.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — метричний простір, і функції ${\displaystyle f,g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$, тобто ${\displaystyle \int \limits _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty ,\;\int \limits _{X}|g|^{p}\,d\mu <\infty }$, де ${\displaystyle p\geq 1}$, і інтеграл розумієтся як інтеграл Лебега.

Тоді ${\displaystyle (f+g)\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$, а також:

${\displaystyle \left(\int \limits _{X}|f(x)+g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}\leq \left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}+\left(\int \limits _{X}|g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}}$.

Зауваження

Нерівність Мінковського показує, що в лінійному просторі ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ можна ввести норму:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{x}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p}}$,

яка перетворює його на нормований, а також і метричний простір.

Евклідів простір

Розглянемо Евклідів простір ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$ або ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle \ L^{p}}$-норма в цьому просторі: ${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top }}$, і тоді

${\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in E}$.

Простір l^p

Хай ${\displaystyle X=\mathbb {N} ,\ {\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m}$ — скінченна міра на ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Тоді множина всіх послідовностей ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, таких що

${\displaystyle \|x\|_{p}=(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p})^{1/p}<\infty }$,

називается ${\displaystyle \ l^{p}}$.

Нерівність Мінковського для цього простору має вигляд:

${\displaystyle \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}+y_{n}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in l^{p}}$.

Імовірнісний простір

Хай ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — імовірнісний простір. Тоді ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ складається з випадкових величин з кінцевим ${\displaystyle p}$-м моментом: ${\displaystyle \mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty }$, де символ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ позначає математичне сподівання.

Нерівність Мінковського в цьому випадку має вигляд:

${\displaystyle \left(\mathbb {E} |X+Y|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}+\left(\mathbb {E} |Y|^{p}\right)^{1/p}.}$

Див. також

• Простір Lp
• Герман Мінковський
• Нерівність Гельдера
• Відстань Мінковського
• Простір Мінковського
• Метрика Мінковського
• Нерівність Малера

Джерела

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — Москва : Наука, 1965.(рос.)