Многочлен від матриці

Многочлен від матриці — многочлен, в якому квадратна матриця є його змінною.

Якщо задано многочлен скалярної змінної ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

то підставивши замість скалярної змінної матрицю ${\displaystyle A}$ отримаємо:

${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$

де ${\displaystyle I}$ — одинична матриця.

Властивості

• Якщо матриці ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ — подібні матриці (${\displaystyle B=P^{-1}AP}$), то ${\displaystyle p(A)}$ і ${\displaystyle p(B)}$ теж подібні матриці.

Анулюючий та мінімальний многочлени матриці

• Многочлен p називається анулюючим многочленом матриці ${\displaystyle A}$, якщо ${\displaystyle p(A)}$ є нульовою матрицею.
• Нормований многочлен ${\displaystyle p}$ називається мінімальним многочленом матриці ${\displaystyle A}$, якщо ${\displaystyle p(A)}$ є її анулюючим многочленом мінімального степеня.
• Всі анулюючі многочлени матриці ${\displaystyle A}$ мають дільником мінімальний многочлен матриці ${\displaystyle A}$.
• Мінімальний многочлен матриці ${\displaystyle A}$ порядку ${\displaystyle n}$ має степінь ${\displaystyle m\leq n}$.
• Мінімальний многочлен степеня ${\displaystyle m\leq n}$ матриці ${\displaystyle A}$, дозволяє виразити ${\displaystyle A^{m},A^{m+1},\ldots }$ через многочлени матриці ${\displaystyle A}$ степенів ${\displaystyle \leq m-1}$.

Теорема Гамільтона — Келі

Теорема Гамільтона — Келі: характеристичний многочлен матриці ${\displaystyle A}$ є її анулюючим многочленом.

Функція від матриці

Багато аналітичних функцій означаються для матричного аргумента з використанням їхнього ряду Тейлора, на основі наступної властивості.

Для заданих многочленів ${\displaystyle P}$ та ${\displaystyle Q}$, рівність ${\displaystyle P(A)=Q(A)}$ досягається тоді й лише тоді, якщо

${\displaystyle P^{(j)}(\lambda _{i})=Q^{(j)}(\lambda _{i})\qquad {\text{для }}j=0,\ldots ,n_{i}-1{\text{ та }}i=1,\ldots ,s,}$

де ${\displaystyle P^{(j)}}$ позначає ${\displaystyle j}$-ту похідну ${\displaystyle P}$ та ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{s}}$ є власними значеннями ${\displaystyle A}$ з відповідними кратностями ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$ (кратність власного значення рівна його блоку Жордана).

Див. також

• Матриця многочленів
• Матрична функція

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Gene H. Golub(інші мови), Charles F. Van Loan(інші мови). Matrix Computations. — 4. — М: : The Johns Hopkins University Press, 2013. — 756 с.(англ.)