|
Многогранник КліМногогранник Клі — побудова, що дозволяє отримати новий многогранник за даним. Названа на честь американського математика Віктора Клі[ru][1]. ОписНехай P — опуклий многогранник у просторі будь-якої розмірності. Тоді многогранник Клі PK многогранника P утворений додаванням до кожної грані P невисокої піраміди з основою в цій грані[2][3]. Зауваження
ПрикладиТриакістетраедр є многогранником Клі тетраедра, триакісоктаедр — многогранником Клі октаедра, а триакісікосаедр — ікосаедра. У всіх цих випадках многогранник Клі утворено доданням трикутної піраміди до кожної грані початкового многогранника. Конвей використав для такої операції введений Кеплером префікс kis (оператор kis Конвея[en]), що можна помітити в назвах многогранників Клі.
Тетракісгексаедр є многогранником Клі куба, утвореним додаванням квадратних пірамід до кожної грані, а пентакісдодекаедр є многогранником Клі додекаедра, утвореним додаванням п'ятикутних пірамід.
Базовий многогранник для многогранника Клі не обов'язково має бути правильним. Наприклад, гекзакісоктаедр є многогранником Клі ромбододекаедра, утвореним заміною кожної ромбічної грані додекаедра ромбічною пірамідою, а гекзакісікосаедр — многогранник Клі ромботриаконтаедра. Власне, базовий многогранник не мусить бути гранетранзитивним тілом, як видно на прикладі трипентакісікосододекаедра вище. Граф Голднера — Харарі можна подати як граф вершин і ребер многогранника Клі трикутної біпіраміди.
Властивості та застосуванняЯкщо P має достатньо вершин відносно його розмірності, то многогранник Клі многогранника P розмірнісно однозначний — граф, утворений його ребрами і вершинами, не є графом іншого многогранника в іншій розмірності. Конкретніше, якщо кількість вершин d-вимірного многогранника P не менша ніж d2/2, то PK розмірнісно однозначний[2][5]. Якщо будь-яка i-вимірна фасета d-вимірного многогранника P є симплексом, і якщо i ≤ d − 2, то будь-яка (i + 1)-вимірна фасета PK також є симплексом. Зокрема, многогранник Клі будь-якого тривимірного многогранника є симпліційним многогранником, тобто, всі його грані є трикутниками. Многогранник Клі можна використовувати для генерування многогранників, що не містять будь-яких гамільтонових циклів — будь-який шлях через одну з вершин, доданих при побудові многогранника Клі, повинен увійти у вершину і вийти з неї через її сусідів, що належать початковому многограннику, і якщо нових вершин буде більше, ніж вершин початкового многогранника, то не буде достатньої кількості вершин, щоб шлях існував. Зокрема, граф Голднера — Харарі, многогранник Клі трикутної біпіраміди, має шість вершин, доданих при побудові многогранника Клі, і лише п'ять вершин у біпіраміді, з якої многогранник Клі створено, тому граф не є гамільтоновим. Це найпростіший негамільтонів симпліційний многогранник[6][7]. Якщо многогранник з n вершинами утворено багаторазовою побудовою многогранника Клі, починаючи з тетраедра, його найдовший шлях має довжину O(nlog3 2). Тобто показник короткості цих графів дорівнює log3 2, приблизно 0.630930. Та ж техніка показує, що в будь-якій вищій розмірності d існують симпліційні многогранники з показником короткості logd 2[8]. Пламмер[9] використав побудову многогранника Клі для створення нескінченного сімейства прикладів симпліційних многогранників із парним числом вершин, що не мають досконалих парувань. Многогранники Клі мають деякі екстремальні властивості, пов'язані з їхніми степенями вершин — якщо будь-яке ребро в планарному графі інцидентне принаймні семи іншим ребрам, то має існувати вершина степеня, що не перевищує 5, але одна з її сусідів матиме ступінь 20 або більше. Многогранник Клі многогранника Клі ікосаедра дає приклад, у якому степінь вершин з високим степенем дорівнює рівно 20[10]. Примітки
Література
|
