Машинний епсилон

Подання машинного нуля в числах з рухомою комою за двозначного порядку

Машинний епсилон (англ. Machine epsilon) — верхня межа відносної похибки округлення чисел із рухомою комою. Абсолютне значення «машинного епсилон» залежить від розрядності сітки застосовуваної ЕОМ, типу (розрядності) використовуваних у розрахунках чисел, і від прийнятої в конкретному трансляторі структури подання дійсних чисел (кількості бітів, що відводяться на мантису і на порядок).[1] Формально машинний епсилон зазвичай визначають як найменше з чисел ε, для якого під час машинних розрахунків з числами даного типу 1+ε>1[2][3]. Альтернативне визначення — найбільше ε, для якого справедлива рівність 1+ε=1.

Практична важливість машинного епсилон пов'язана з тим, що два (відмінних від нуля) числа є однаковими з точки зору машинної арифметики, якщо модуль їх відносної різниці менший (за визначенням першого типу) або не перевершує (за визначенням другого типу) машинного епсилон.

Машинний нуль — числове значення з таким від'ємним порядком, що воно сприймається обчислювальною машиною як нуль[4].

У мовах програмування

Мова Сі

У мові Сі існують граничні константи FLT_EPSILON, DBL_EPSILON і LDBL_EPSILON, які є «машинними епсилон», відповідними першому визначенню: FLT_EPSILON = 2^−23 ≈ 1.19e−07 — це машинний епсилон для чисел типу float (32 біти), DBL_EPSILON = 2^−52 ≈ 2.20e−16 — для типу double (64 біти), і LDBL_EPSILON = 2^−63 ≈ 1.08e−19 — для типу long double (80 біт). Для альтернативного визначення відповідні машинні епсилон будуть вдвічі меншими: 2^−24, 2^−53 і 2^−64. У деяких компіляторах Сі (наприклад gcc, Intel's C/C++ compiler) допускається використання змінних четверної точності (_float128, _Quad). Відповідні машинні епсилон рівні 2^−112 ≈ 1.93e−34 і 2^−113 ≈ 9.63e−35.

Приклад

Приклад обчислення машинного епсилона мовою Сі.

float macheps(void)
{
	float e = 1.0f;

	while (1.0f + e / 2.0f > 1.0f)
		e /= 2.0f;
	return e;
}

Приклад мовою C++.

# include <iostream>
# include <stdint.h>
# include <iomanip>

template<typename float_t, typename int_t>
float_t machine_eps()
{
	union
	{
		float_t f;
		int_t  i;
	} one, one_plus, little, last_little;

	one.f  = 1.0;
	little.f = 1.0;
	last_little.f = little.f;

	while(true)
	{
		one_plus.f = one.f;
		one_plus.f += little.f;

		if( one.i != one_plus.i )
		{
			last_little.f = little.f;
			little.f /= 2.0;
		}
		else
		{
			return last_little.f;
		}
	}
}

int main()
{
	std::cout << "machine epsilon:\n";
	std::cout << "float: " << std::setprecision(18)<< machine_eps<float, uint32_t>() << std::endl;
	std::cout << "double: " << std::setprecision(18) << machine_eps<double, uint64_t>() << std::endl;
}

Приклад на Python

def machineEpsilon(func=float):
  machine_epsilon = func(1)
  while func(1)+func(machine_epsilon) != func(1):
    machine_epsilon_last = machine_epsilon
    machine_epsilon = func(machine_epsilon) / func(2)
  return machine_epsilon_last

Виведення може бути таким (з використанням IPython):

In [1]: machineEpsilon(int)
Out[1]: 1

In [2]: machineEpsilon(float)
Out[2]: 2.2204460492503131e-16

In [3]: machineEpsilon(complex)
Out[3]: (2.2204460492503131e-16+0j)

Див. також

• −0 (програмування)

Примітки

1. Подбельский В. В., Фомин С. С. Программирование по на языке Си: Учеб.пособие. М.: Финансы и статистика, 2003.
2. Білоус Р.В., Вєтров О.С. Проблема коректності комп’ютерних обчислень при підготовці майбутніх фахівців галузі IT. Донецький національний університет імені Василя Стуса (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 7 вересня 2021. Процитовано 7 вересня 2021.
3. Игорь Юсупович Алибеков. [1] — МГИУ, 2008-01-01. — 221 с. — ISBN 9785276014623. Архівовано з джерела 7 вересня 2021
4. [2] — Directmedia, 2014-05-20. — 432 с. — ISBN 9785445838753. Архівовано з джерела 7 вересня 2021