Математичне формулювання загальної теорії відносності

У цій статті розглядається математична основа загальної теорії відносності.

Початкові положення

Наше інтуїтивне сприйняття свідчить, що простір-час є регулярним і неперервним, тобто не має «дірок». Математично ці властивості означають, що простір-час буде моделюватися гладким диференційовним многовидом 4 вимірів ${\displaystyle M_{4}}$, тобто простором розмірності 4, для якого окіл кожної точки схожий локально на чотиривимірний евклідів простір. Гладкість тут означає достатню диференційовність, поки без уточнення її ступеня.

Оскільки крім того з хорошою точністю виконуються закони спеціальної теорії відносності, то такий многовид можна наділити лоренцевою метрикою, тобто невиродженим метричним тензором з сигнатурою ${\displaystyle \{-,+,+,+\}}$ (або, що еквівалентно, ${\displaystyle \{+,-,-,-\}}$). Значення цього розкривається в наступному розділі.

Геометрія простору-часу

NB Ця стаття дотримується класичних домовленостей щодо знаків Мізнера, Торна і Вілера[1]

У цій статті приймається також угода Ейнштейна для підсумовування за повторюваними індексами.

Метричний тензор

Диференційовний многовид[2] M, забезпечений лоренцевим метричним тензором g, і є таким чином лоренцевим многовидом, який є частковим випадком псевдоріманового многовида (визначення «лоренців» буде уточнено далі в тексті; див. розділ Лоренцева метрика).

Візьмемо довільну систему координат ${\displaystyle x^{\mu }}$ в околі точки ${\displaystyle P}$, і нехай ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\mu }(x)}$ — локальний базис у дотичному просторі ${\displaystyle T_{x}M}$ до многовида ${\displaystyle M}$ у точці ${\displaystyle x\in M}$. Дотичний вектор ${\displaystyle \mathbf {w} \in T_{x}M}$ запишеться тоді як лінійна комбінація базисних векторів:

${\displaystyle \mathbf {w} \ =\ w^{\mu }\ \mathbf {e} _{\mu }.}$

При цьому величини ${\displaystyle \ w^{\mu }}$ називаються контраваріантними компонентами вектора w. Метричний тензор ${\displaystyle \mathbf {g} }$ тоді — симетрична білінійна форма:

${\displaystyle \mathbf {g} \ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ \otimes \ dx^{\nu },}$

де через ${\displaystyle dx^{\mu }}$ позначено дуальний відносно ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\mu }(x)}$ базис в кодотичному просторі ${\displaystyle T_{x}^{*}M}$, тобто такі лінійні форми на ${\displaystyle T_{x}M}$, що:

${\displaystyle dx^{\nu }({\mathbf {e} }_{\mu })\ =\ \delta _{\mu }^{\nu }.}$

Далі будемо припускати, що компоненти ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$ метричного тензора змінюються в просторі-часі неперервно[3].

Метричний тензор, таким чином, може бути поданий дійсною симетричною матрицею 4x4:

${\displaystyle g_{\mu \nu }\ =\ g_{\nu \mu }.}$

Взагалі будь-яка дійсна матриця 4x4 має апріорі 4 x 4 = 16 незалежних елементів. Умова симетрії зменшує це число до 10: насправді, залишається 4 діагональних елементи, до яких треба додати (16 — 4)/2 = 6 недіагональних елементів. Тензор ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ має, таким чином, тільки 10 незалежними компонент.

Скалярний добуток

Метричний тензор визначає для кожної точки ${\displaystyle x\in M}$ многовида псевдо-скалярний добуток («псевдо-» в тому сенсі, що відсутня позитивна визначеність асоційованої квадратичних форм (квадрата вектора); див. Лоренцева метрика) в дотичному до різноманіття ${\displaystyle M^{}}$ в точці ${\displaystyle x}$ псевдоевклідовому просторі ${\displaystyle T_{x}M}$. Якщо ${\displaystyle \mathbf {u} }$ і ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — два вектора ${\displaystyle T_{x}M}$, їх скалярний добуток запишеться як:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \ =\ \mathbf {g} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\ =\ g_{\mu \nu }\ u^{\mu }\ v^{\nu }}$

Зокрема, взявши два базисних вектори, отримуємо компоненти:

${\displaystyle g_{\mu \nu }\ =\ \mathbf {g} ({\mathbf {e} }_{\mu },{\mathbf {e} }_{\nu })\ =\ {\mathbf {e} }_{\mu }\cdot {\mathbf {e} }_{\nu }}$

Зауваження: якщо величини ${\displaystyle w^{\mu }}$ позначають контраваріантні компоненти вектора w, то можна визначити також його коваріантні компоненти як:

${\displaystyle w_{\mu }\ =\ \mathbf {w} \ \cdot \mathbf {e} _{\mu }.}$

Елементарна відстань — інтервал

Розглянемо вектор елементарного переміщення ${\displaystyle d\mathbf {P} \ =\ \epsilon ^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }}$ між точкою ${\displaystyle P^{}}$ і нескінченно близькою точкою: ${\displaystyle |\epsilon ^{\mu }|\ll 1}$. Інваріантною інфінітезимальною нормою цього вектора буде дійсне число, що позначається ${\displaystyle ds^{2}}$, зване коефіцієнтом інтервалу, і рівне:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ \epsilon ^{\mu }\ \epsilon ^{\nu }}$.

Якщо позначити компоненти вектора елементарного переміщення «по фізичному» ${\displaystyle \epsilon ^{\mu }=dx^{\mu }}$, інфінітезимальний квадрат довжини (інтервалу) запишеться формально як:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ dx^{\nu }}$

Увага: в цій формулі, а також і далі, ${\displaystyle dx^{\mu }}$ є дійсним числом, що інтерпретується як фізично «інфінітезимальна зміна» координати ${\displaystyle x^{\mu }}$, а не як диференціальна форма!

Лоренцева метрика

Уточнимо тепер вираз «лоренцева» (точніше «локально лоренцева»), який означає, що метричний тензор має сигнатуру (1,3) і локально збігається в першому порядку з лоренцевою метрикою спеціальної теорії відносності. Принцип еквівалентності стверджує, що можна «стерти» локально поле гравітації, вибираючи локально інерційну систему координат. З математичної точки зору такий вибір є переформулюванням відомої теореми про можливість зведення квадратичної форми до головних осей.

У такий локально інерційній системі координат ${\displaystyle X^{\alpha }}$ інваріант ${\displaystyle ds^{2}}$ у точці ${\displaystyle P}$ запишеться як:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ \eta _{\alpha \beta }\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta }\ =\ -\ c^{2}\,dT^{2}\,+\,dX^{2}\,+\,dY^{2}\,+\,dZ^{2},}$

де ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$ є метрикою простору-часу Мінковського, а в малому околі цієї точки

${\displaystyle ds^{2}\ =\ (\eta _{\alpha \beta }+\delta _{\alpha \beta })\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta },}$

де ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$ має мінімум другий порядок малості за відхиленнями від координат точки ${\displaystyle P}$, тобто ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }|_{P}=0,\ \left.{\frac {\partial \delta _{\alpha \beta }}{\partial X^{\alpha }}}\right|_{P}=0}$. Приймаючи домовленість щодо знаків Мізнера, Торна і Вілера, маємо[1]:

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }\ =\ \mathrm {diag} \ (-1,\,+1,\,+1,\,+1\,)}$

Далі використовуються такі звичайні домовленості:

• грецькі індекси змінюються від 0 до 3. Вони відповідають величинам у просторі-часі.
• латинські індекси змінюються від 1 до 3. Вони відповідають просторовим складовим величин у просторі-часі.

Наприклад, 4-вектор стану запишеться в локально інерційній системі координат як:

${\displaystyle X^{\alpha }\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{i}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{1}\\X^{2}\\X^{3}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}c\,T\\X\\Y\\Z\end{matrix}}\right).}$

Увага: насправді скінченні, а не інфінітезимальні прирости координат не утворюють вектора. Вектор з них виникає лише в однорідному просторі нульової кривини і тривіальної топології.

Лоренців характер многовида ${\displaystyle M^{}}$ забезпечує, таким чином, те, що дотичні до ${\displaystyle M^{}}$ у кожній точці псевдоевклідового простору будуть мати псевдоскалярні добутки («псевдо-» в тому сенсі, що відсутня додатна визначеність асоційованої квадратичної форми (квадрата вектора)) з трьома строго додатними власними значеннями (що відповідають простору) і одним строго від'ємним власним значенням (відповідним часу). Зокрема, елементарний інтервал «власного часу», що відокремлює дві послідовні події, завжди:

${\displaystyle d\tau ^{2}\ =\ -{\frac {ds^{2}}{c^{2}}}\ >\ 0.}$

Загальні поняття афінної зв'язності і коваріантної похідної

Узагальнено, афінною зв'язністю називається оператор ${\displaystyle \nabla }$, який приводить у відповідність векторному полю ${\displaystyle \mathbf {V} }$ з дотичного пучка ${\displaystyle TM}$ поле ендоморфізмів ${\displaystyle \nabla \mathbf {V} }$ цього пучка. Якщо ${\displaystyle {\mathbf {w} }\in T_{x}M}$ — дотичний вектор у точці ${\displaystyle x\in M}$, зазвичай позначають

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }\ \mathbf {V} (x)\ =\ \nabla \mathbf {V} (x,\mathbf {w} ).}$

Кажуть, що ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} }$ є «коваріантною похідною» вектора ${\displaystyle \mathbf {V} }$ в напрямку ${\displaystyle {\mathbf {w} }}$. Припустимо до того ж, що ${\displaystyle \nabla \mathbf {V} }$ задовольняє додатковій умові: для будь-якої функції f виконується

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V} }$

Ковариантная похідна задовольняє таким двом властивостям лінійності:

• лінійність за w, тобто, якими б не були поля векторів w і u і дійсні числа a і b, ми маємо:

${\displaystyle \nabla _{(a\mathbf {w} +b\mathbf {u} )}\mathbf {V} \ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ b\ \nabla _{\mathbf {u} }\mathbf {V} .}$

• лінійність за V, тобто, якими б не були поля векторів X і дійсні числа a і b, ми маємо:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(a\mathbf {X} +b\mathbf {Y} )\ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {X} \ +b\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {Y} .}$

Як тільки коваріантну похідну визначено для полів векторів, її можна поширити на тензорні поля з використанням правила Лейбніца: якщо ${\displaystyle \mathbf {T} }$ і ${\displaystyle \mathbf {S} }$ — два будь-яких тензори, то за визначенням:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(\mathbf {T} \otimes \mathbf {S} )\ =\ (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {T} )\otimes \mathbf {S} \ +\ \mathbf {T} \otimes (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {S} )}$

Коваріантна похідна поля тензора вздовж вектора w є знову поле тензора того ж типу.

Зв'язність, асоційована з метрикою

Можна довести, що зв'язність, асоційована з метрикою — зв'язність Леві-Чивіти[1] [Архівовано 9 квітня 2016 у Wayback Machine.], є єдиною зв'язністю, яка, крім попередніх умов, додатково забезпечує те, що для будь-яких полів векторів X, Y, Z з TM

• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }(\mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ))\ =\ \mathbf {g} (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} )\ +\ \mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )}$ (метричність — тензор неметричності дорівнює нулю).

• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} \ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {X} \ =\ [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$, де ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ — комутатор Лі від X і Y (відсутність кручення — тензор кручення дорівнює нулю).

Опис у координатах

Коваріантна похідна вектора є вектор, і, таким чином, її можна виразити як лінійну комбінацію всіх базисних векторів:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }V\ =\ \left[\,\nabla _{\mathbf {w} }V\,\right]^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho }\ =\ \Gamma ^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho },}$

де ${\displaystyle \Gamma ^{\rho }}$ є компонентами вектора коваріантної похідної в напрямку ${\displaystyle \mathbf {e} _{\rho }}$ (ця складова залежить від вибраного вектора w).

Щоб описати коваріантну похідну, досить описати її для кожного з базисних векторів ${\displaystyle \mathbf {e} _{\nu }}$ вздовж напрямку ${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }}$. Визначимо тоді символи Крістофеля (або просто крістофелі) ${\displaystyle \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu },}$ залежні від 3 індексів[4]

${\displaystyle \nabla _{\mu }{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \nabla _{{\mathbf {e} }_{\mu }}{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }}$

Зв'язність Леві-Чивіти повністю характеризується своїми символами Крістофеля. Згідно з загальною формулою

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V} }$

для вектора V:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \nabla _{\mu }(V^{\nu }\mathbf {e} _{\nu })\ =\ V^{\nu }\ (\nabla _{\mu }\mathbf {e} _{\nu })\ +\ dV^{\nu }(\mathbf {e} _{\mu })\ \mathbf {e} _{\nu }.}$

Знаючи, що ${\displaystyle dV^{\nu }(\mathbf {e} _{\mu })=\partial _{\mu }V^{\nu }}$, отримуємо:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ V^{\nu }\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ \mathbf {e} _{\nu }}$

Перший член цієї формули описує «деформацію» системи координат відношенню коваріантної похідної, а другий — зміни координат вектора V. При підсумовуванні за німими індексами можна переписати це співвідношення у формі

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \left[\,V^{\rho }\ \Gamma ^{\nu }{}_{\mu \rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\,\right]\ \mathbf {e} _{\nu }}$

З цього одержуємо важливу формулу для компонент:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} ^{\nu }\ =\ \left[\,\nabla _{\mu }\mathbf {V} \,\right]^{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ +\ \Gamma _{~\mu \rho }^{\nu }\ V^{\rho }}$

Використовуючи формулу Лейбніца, так само можна продемонструвати, що:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} _{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V_{\nu }\ -\ \Gamma _{~\mu \nu }^{\rho }\ V_{\rho }.}$

Щоб обчислити ці складові в явній формі, вирази для символів Крістофеля слід визначити, виходячи з метрики. Їх легко отримати, написавши такі умови:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\ \mathbf {g} _{\nu \rho }\ =\ 0.}$

Розрахунок цієї коваріантної похідної приводить до

${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ g^{\mu \nu }\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right),}$

де ${\displaystyle g^{\mu \nu }\ }$ — компоненти «оберненого» метричного тензора, визначені рівняннями

${\displaystyle g^{\mu \nu }\ g_{\nu \rho }\ =\ \delta ^{\mu }{}_{\rho }}$

Символи Крістофеля «симетричні»[5] відносно нижніх індексів: ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }=\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \rho }.\ }$

Зауваження: інколи визначаються також такі символи:

${\displaystyle \Gamma _{\nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right)}$

одержувані як:

${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ g^{\mu \nu }\ \Gamma _{\nu \rho \sigma }}$

Тензор кривини Рімана

Тензор кривини Рімана R — тензор 4-ї валентності, визначений для будь-яких векторних полів X, Y, Z з M як

${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mathbf {Z} \ =\ \nabla _{\mathbf {X} }\,(\nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\,(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}\mathbf {Z} \;.}$

Його компоненти в явній формі виражаються з метричних коефіцієнтів:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\left(\partial _{\nu \rho }^{2}g_{\mu \sigma }\ +\ \partial _{\mu \sigma }^{2}g_{\nu \rho }\ -\ \partial _{\nu \sigma }^{2}g_{\mu \rho }\ -\ \partial _{\mu \rho }^{2}g_{\nu \sigma }\right)\ +}$

${\displaystyle +\ g_{\lambda \tau }\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \rho }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \sigma }\ -\ \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \rho }\right)\;.}$

Симетрії цього тензора:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ R_{\rho \sigma \mu \nu }\;,}$

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\nu \mu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.}$

Він задовольняє також таким співвідношенням:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ +\ R_{\mu \sigma \nu \rho }\ +\ R_{\mu \rho \sigma \nu }\ =\ 0.}$

Тензор кривини Річчі

Тензор Річчі — тензор валентності 2, визначений згорткою тензора кривини Рімана

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ g^{\rho \sigma }\ R_{\rho \mu \sigma \nu }\ =\ R_{~\mu \sigma \nu }^{\sigma }\;.}$

Його компоненти в явному вигляді через символи Крістофеля:

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ \partial _{\rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ -\ \partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \rho }\ +\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\rho \sigma }\ -\ \Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\;.}$

Цей тензор симетричний: ${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ R_{\nu \mu }\ }$.

Скалярна кривина

Скалярна кривина є інваріантом, що визначається згорткою тензора Річчі з метрикою

${\displaystyle R\ =\ g^{\mu \nu }\ R_{\mu \nu }\ =\ R_{~\nu }^{\nu }.}$

Рівняння Ейнштейна

Рівняння гравітаційного поля, які називаються рівняннями Ейнштейна, записуються так

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu },}$

або так

${\displaystyle G_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu },}$

де ${\displaystyle \Lambda }$ — космологічна стала, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла у вакуумі, ${\displaystyle G}$ — гравітаційна стала, яка з'являється також у законі всесвітнього тяжіння Ньютона, ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R}$ — тензор Ейнштейна, а ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ — тензор енергії-імпульсу.

Симетричний тензор ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ має тільки 10 незалежних складових, тензорне рівняння Ейнштейна в заданій системі координат еквівалентне системі 10 скалярних рівнянь. Ця система 10 пов'язаних нелінійних рівнянь у часткових похідних у більшості випадків дуже складна для вивчення.

Тензор енергії-імпульсу

Тензор енергії-імпульсу може бути записаний у вигляді дійсної симетричної матриці 4x4:

${\displaystyle T_{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right).}$

У ньому виявляються такі фізичні величини:

• T₀₀ — об'ємна густина енергії. Вона має бути додатною.
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ — густини компонент імпульсу.
• T -₀₁, T -₀₂, T₀₃ — компоненти потоку енергії.
• Підматриця 3 x 3 з чисто просторових компонент:

${\displaystyle T_{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)}$

 — матриця потоків імпульсів. У механіці рідини діагональні компоненти відповідають тиску, а решта складових — тангенціальним зусиллям (напругам або, в старій термінології — натягам), викликаним в'язкістю.

Для рідини у спокої тензор енергії-імпульсу зводиться до діагональної матриці ${\displaystyle {\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)}$, де ${\displaystyle {\rho }}$ є густина маси, а ${\displaystyle p}$ — гідростатичний тиск.

Примітки

1. C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. або Ч. МИЗНЕР, К. ТОРН, Дж. УИЛЕР. ГРАВИТАЦИЯ. том I—III. М. Мир, 1977.
2. Далі ми скрізь не пишемо індекс 4, який уточнює розмірність многовида «M».
3. Точніше, вони мають бути принаймні класу C².
4. Увага, символи Крістофеля не є тензорами.
5. Слово «симетричні» взято в лапки, оскільки ці індекси в силу свого походження — не тензорні.