Математична нотація

Математична нотація — це система символічних зображень математичних об'єктів та ідей. Вона використовується в математиці, природничих науках, техніці та економіці. Математичні нотації включають відносно прості символічні зображення, такі як числа 0, 1 та 2; змінні, такі як x, y або z; розділові символи, такі як «(» і «|»; символи функцій, такі як sin (синус); символи операторів, такі як «+» і «−»; символи відношень, такі як «<» і «>»; концептуальні символи, такі як lim і dy/dx; рівняння та складні схематичні позначення, такі як графічне позначення Пенроуза й діаграми Коксетера — Динкіна.

Визначення

Математична нотація — це система письма, яка використовується для запису понять в математиці.

• У записі використовуються символи або символічні вирази, які мають точне смислове значення.
• В історії математики ці символи позначають числа, форми, структури та зміни. Позначення також може включати символи для частин звичайного дискурсу між математиками, коли розглядають математику як мову.

Систематичне дотримання математичних понять є фундаментальним поняттям математичної нотації. (Дивись також деякі пов'язані поняття: аргумент, математична логіка і теорія моделей.)

Вирази

Алгебраїчний вираз — це послідовність символів, яку можна обчислити. Наприклад, якщо символи представляють числа, вирази обчислюються відповідно до звичайної черговості операцій, який передбачає обчислення, якщо це можливо, будь-яких виразів в дужках, за якими ідуть будь-які показники кореня, потім множення та ділення і будь-які додавання або віднімання. Все це робиться зліва направо. Комп'ютерною мовою ці правила реалізуються компіляторами. Детальніше про обчислення виразів див. розділи інформатики: спраглих оцінки, ліниві обчислення, і оператор оцінки.

Точне смислове значення

Сучасна математика повинна бути точною, оскільки неоднозначні позначення не дозволяють формальних доказів. Припустимо, що у нас є висловлювання, позначені деякою формальною послідовністю символів, про деякі об'єкти (наприклад, числа, форми, візерунки). Поки твердження (висловлювання/теореми) не будуть доведені, їхнє значення залишається невизначеним. Під час міркувань ми можемо дозволити символам посилатися на ті об'єкти, що позначаються, можливо, в моделі. У семантиці цього об'єкта має евристичну сторону та дедуктивну сторону. У будь-якому випадку, ми можемо хотіти знати властивості цього об'єкта, які ми могли б потім перерахувати в інтенсіональному визначенні.

Потім ці властивості можуть бути виражені деякими добре відомими та узгодженими символами з таблиці математичних символів. Ця математична нотація може включати такі позначення, як:

${\displaystyle \forall x}$ — «для всіх ${\displaystyle x}$», ${\displaystyle \neg \exists x}$ — не існує/жодного ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \exists y}$ —«існує ${\displaystyle y}$» (або ${\displaystyle \exists !n}$ — «існує єдиний ${\displaystyle n}$»), ${\displaystyle A}$ — « множина ${\displaystyle A}$», f — «функція f»

Приклад мтематичного твердження з використанням нотації:

Поле ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексних чисел є скінченним і алгебричним розширенням поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$ дійсних чисел.

У різних контекстах один і той же символ або позначення можуть використовуватися для представлення різних концепцій. Тому, щоб повністю зрозуміти частину математичного письма, важливо спочатку перевірити визначення, які автор дає для позначень, які використовуються. Це може бути проблематично, якщо автор припускає, що читач вже знайомий з позначенням, що використовується.

Історія

Підрахунок

Вважається, що математична нотація для лічби була вперше розроблена принаймні 50 000 років тому[1] — ранні математичні ідеї, такі як лічба за допомогою пальців[2], також були представлені колекціями гірських порід, паличок, кісток, глини, каменю, дерева різьблення і вузлики. Спосіб підрахунку за допомогою палички-зарубки минає до верхнього палеоліту. Можливо, найдавнішими відомими математичними текстами є стародавні шумерські. У кіпу з Анд та кістці Ішанго з Африки використовувався метод підрахунку зарубок для числових понять.

Розвиток нуля як числа є однією з найважливіших подій ранньої математики. Він був використаний як замінник вавилонянами і грецькими єгиптянами, а потім як ціле число майя, індійців та арабів. (Докладнішу інформацію дивись у розділі Історія нуля.)

Геометрія стає аналітичною

Найбільш ранні математичні точки зору в геометрії не піддавалися підрахунку. В натуральних числах, їх відношення до дробів, а також ідентифікація неперервних величин фактично зайняли тисячоліття, і навіть більше, щоб забезпечити розвиток нотації. Це не було до тих пір, винахід аналітичної геометрії від Рене Декарта, що геометрія не стала більш схильні до числової нотації[3]. Деякі символічні ярлики для математичних понять почали використовуватися в публікації геометричних доказів. Навіть більше, влада та авторитет теорем геометрії й структури доказу сильно вплинули на негеометричні трактати, наприклад, Ісаак Ньютон «Математичні начала натуральної філософії».

Сучасні позначення

XVIII—XIX століття бачили створення та стандартизацію математичної нотації, які використовуються сьогодні. Леонард Ейлер був відповідальним за багато нотацій, що використовуються сьогодні: використання a, b, c для констант і x, y, z для невідомих, e для бази природного логарифма, sigma (Σ) для суми, i для уявної одиниці, а функціональне позначення F (х). Він також популяризував використання π для сталої Архімеда (завдяки Вільяму Джонсу Пропозиція щодо використання π таким чином ґрунтується на попередній нотації Вільяма Отреда). Багато поля математики несуть на собі відбиток їх творців для позначення: диференційний оператор пов'язаний з Лейбніцом[4], числівники нескінченності до Георга Кантора (на додаток до лемніскати (∞) Джона Валліса), символ рівняння (≡) до Гаусса і так далі.

Комп'ютеризовані нотації

Математично орієнтовані мови розмітки, такі як TeX, LaTeX й, зовсім недавно, MathML є достатньо потужними, щоб висловити широкий спектр математичних нотацій.

Теорема-доказ програмного забезпечення природно приходить з власними позначеннями для математики; проект OMDoc [Архівовано 7 березня 2007 у Wayback Machine.] прагне забезпечити відкриті надбання для таких позначень; і мова MMT [Архівовано 6 березня 2019 у Wayback Machine.] забезпечує основу для взаємодії між іншими позначеннями.

Математична нотація на основі не латиниці

Сучасна арабська математична нотація ґрунтується в основному на арабському письмі та широко використовується в арабському світі, особливо в вищій освіті. (Західна нотація використовує арабські цифри, але арабська нотація також замінює латинські букви та відповідні символи арабським сценарієм.)

Деякі математичні нотації в основному схематичні, і тому майже повністю незалежні від сценаріїв. Прикладами є графічні позначення Пенроуза та діаграми Коксетера — Динкіна.

Математичні нотації на основі Брайля, які використовуються сліпими людьми, містять код Немета Брайля та шрифт Брайля GS8.

Див. також

• Abuse of notation^[en]
• Begriffsschrift^[en]
• Bourbaki dangerous bend symbol^[en]
• Історія математичних позначень
• ISO 31-11^[en]
• ISO 80000-2^[en]
• Нотація Кнута
• Mathematical Alphanumeric Symbols^[en]
• Notation in probability and statistics^[en]
• Мова математики
• Експоненціальний запис
• Semasiography^[en]
• Таблиця математичних символів
• Vector notation^[en]
• Сучасна арабська математична нотація^[en]

Примітки

1. An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition) by Howard Eves (1990) p.9
2. Georges Ifrah notes that humans learned to count on their hands. Ifrah shows, for example, a picture of Boethius (who lived 480—524 or 525) reckoning on his fingers in Ifrah, 2000, с. 48.
3. Boyer, C. B. (1959), Descartes and the geometrization of algebra, The American Mathematical Monthly, 66: 390—393, doi:10.2307/2308751, JSTOR 2308751, MR 0105335, The great accomplishment of Descartes in mathematics invariably is described as the arithmetization of geometry.
4. Gottfried Wilhelm Leibnitz. Архів оригіналу за 12 червня 2006. Процитовано 5 жовтня 2014.

Список літератури

• Cajori, Florian (1928). A History of Mathematical Notations (англ.). Т. 1 (вид. 1). с. 476.
• Cajori, Florian (1952). A History of Mathematical Notations (англ.). Т. 2 (вид. 3). с. 396.
• Ifrah, Georges (2000), The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer., John Wiley and Sons, с. 48, ISBN 0-471-39340-1. Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk. Ifrah supports his thesis by quoting idiomatic phrases from languages across the entire world.

Посилання

• Earliest Uses of Various Mathematical Symbols [Архівовано 20 лютого 2016 у Wayback Machine.]
• Mathematical ASCII Notation [Архівовано 25 жовтня 2010 у Wayback Machine.] how to type math notation in any text editor.
• Mathematics as a Language [Архівовано 29 грудня 2010 у Wayback Machine.] at cut-the-knot
• Stephen Wolfram: Mathematical Notation: Past and Future [Архівовано 15 лютого 2019 у Wayback Machine.]. October 2000. Transcript of a keynote address presented at MathML and Math on the Web: MathML International Conference.