Єдиність

У математиці та логіці, фраза «є один і тільки один», використовується, щоб вказати, що існує тільки один об'єкт з зазначеною властивістю. У математичній логіці, такий різновид квантору відомий як квантор унікальності або квантор єдиності.

Єдиність часто позначається символами «∃!» або ∃₌₁". Наприклад, формальне твердження

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

можна читати, як «є тільки одне натуральне число n , таке, що n — 2 = 4».

Доказ єдиності

Найбільш поширений метод доведення єдиності існування, наступний: спершу довести існування суб'єкта з потрібною властивістю; далі припускають, що існують два об'єкти (скажімо, A і B ) з такою властивістю, потім логічно виводиться їх рівність, тобто  a = b.

Наведемо простий приклад з середньої школи. Щоб показати x + 2 = 5 має рівно одне рішення, спочатку покажемо, що існує принаймні одне рішення, а саме: 3; доказ цієї частини відбувається обчисленням

${\displaystyle 3+2=5.\,}$

Тепер припустимо, що існують два рішення, а саме a і b, які задовольняють рівняння x + 2 = 5. Таким чином

${\displaystyle a+2=5\quad {\text{ та }}\quad b+2=5.\,}$

За транзитивності рівності,

${\displaystyle a+2=b+2.\,}$

Скорочуємо на 2:

${\displaystyle a=b.\,}$

Цей простий приклад показує, як доводиться єдиність. Кінцевим результатом є рівність двох величин, що задовольняють умові.

Як існування, так і єдиність повинні бути доведені, щоб зробити висновок, що існує рівно одне рішення.

Альтернативний спосіб довести унікальність полягає в доказі існування значення ${\displaystyle a}$ ,що задовольняють умові, а потім довести, що для всіх ${\displaystyle x}$, умова ${\displaystyle x}$ означає ${\displaystyle x=a}$.

Зведення до звичайних кванторів існування та загальності

Єдність може бути виражено в термінах кванторів існування та загальності логіки першого порядку, визначивши формулу ∃!x P(x) яка буквально означає,

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))}$

яка є такою ж, як

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

Еквівалентне визначення, що має силу відокремлювати поняття існування і єдиності у два пункти, за рахунок стислості

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,((P(y)\wedge P(z))\to y=z).}$

Інше, більш лаконічне еквівалентне визначення

${\displaystyle \exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).}$

Узагальнення

Одним з узагальнень єдиності є злічений квантор^[en]. Він включає в себе обидва квантори виду «існує рівно k об'єктів таких, що …», а також «існує нескінченно багато об'єктів таких, що …» і «існує лише скінченне число об'єктів таких, що …». Перша з цих форм виражається за допомогою звичайних кванторів, але останні два не можуть бути виражені у звичайній логіці першого порядку.[1]

Єдиність залежить від поняття відношення рівності. Якщо ослабити його до якогось грубішого відношення еквівалентності, дає кількісну оцінку єдиності з точністю до тієї еквівалентності (в рамках цієї структури, регулярна унікальність є «унікальність до рівності»). Наприклад, багато понять у теорії категорій визначаються як єдині з точністю до ізоморфізму.

Див. також

• Унітарний код
• Синґлетон (математика)

Примітки

1. Це є наслідком теореми про компактність.

Посилання

• Kleene, Stephen (1952). Introduction to Metamathematics. Ishi Press International. с. 199.
• Andrews, Peter B. (2002). An introduction to mathematical logic and type theory to truth through proof (вид. 2.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. с. 233. ISBN 1-4020-0763-9.