Конус (алгебрична геометрія)

В алгебричній геометрії конус — узагальнення векторного розшарування. Зокрема, для даної схеми X, відносну Spec

${\displaystyle C=\operatorname {Spec} _{X}R}$

квазікогерентної градуйованої O_X-алгебри^[en] R називають конусом або афінним конусом у R. Подібно, відносну Proj

${\displaystyle \mathbb {P} (C)=\operatorname {Proj} _{X}R}$

називають проєктивним конусом у C або R.

Примітка: конус має ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-дію завдяки градуйованості R; ця дія є частиною даних конуса (звідки й назва).

Приклади

• Якщо X = Spec k — точка і R — однорідне координатне кільце^[en], то афінний конус у R є (зазвичай) афінним конусом над відповідним R проєктивним многовидом.
• Якщо ${\displaystyle R=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$ для деякого пучка ідеалів I, то ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$ — нормальний конус^[en] до замкнутої схеми, визначеної I.
• Якщо ${\displaystyle R=\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}}$ для деякого лінійного розшарування L, то ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$ — повний простір у двоїстому до L.
• Загальніше, для даного векторного розшарування (локально вільний пучок скінченного рангу) E на X, якщо R=Sym(E^*) — симетрична алгебра, згенерована для двоїстого до E, то конус ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$ є повним простором у E, який часто позначають просто E, а проєктивний конус ${\displaystyle \operatorname {Proj} _{X}R}$ є проєктивним розшаруванням^[en] E, яке позначають ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$.
• Нехай ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — когерентний пучок на стеку Деліня — Мамфорда^[en] X, а ${\displaystyle C({\mathcal {F}}):=\operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}})).}$[1] Для будь-якого ${\displaystyle f:T\to X}$, оскільки глобальний Spec є правим сполученням з функтором прямого зображення, маємо: ${\displaystyle C({\mathcal {F}})(T)=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}}),f_{*}{\mathcal {O}}_{T})}$; зокрема, ${\displaystyle C({\mathcal {F}})}$ є комутативною груповою схемою над X.
• Нехай R — градуйована ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-алгебра, така що ${\displaystyle R_{0}={\mathcal {O}}_{X}}$ і ${\displaystyle R_{1}}$ є когерентним і локально породжує R як ${\displaystyle R_{0}}$-алгебру. Тоді існує замкнене вкладення

${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R\hookrightarrow C(R_{1})}$,

задане ${\displaystyle \operatorname {Sym} (R_{1})\to R}$. Тому ${\displaystyle C(R_{1})}$ називають абелевою оболонкою конуса ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R.}$ Наприклад, якщо для деякого пучка ідеалів ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$, то це вкладення є вкладенням нормального конуса в нормальне розшарування.

Обчислення

Розглянемо ідеал повного перетину ${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})\subset \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ і нехай ${\displaystyle X}$ — проєктивна схема, визначена пучком ідеалів ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}$. Тоді ми маємо ізоморфізм ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}}$-алгебр, заданий як^[джерело?]

${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}{\frac {{\mathcal {I}}^{n}}{{\mathcal {I}}^{n+1}}}\cong {\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b,c]}{(g_{2}a-g_{1}b,g_{3}a-g_{1}c,g_{3}b-g_{2}c)}}}$

Властивості

Якщо ${\displaystyle S\to R}$ — градуйований гомоморфізм градуйованих O_X-алгебр, то маємо індукований морфізм між конусами:

${\displaystyle C_{R}=\operatorname {Spec} _{X}R\to C_{S}=\operatorname {Spec} _{X}S}$.

Якщо гомоморфізм сюр'єктивний, то виходять замкнені вкладення ${\displaystyle C_{R}\hookrightarrow C_{S},\,\mathbb {P} (C_{R})\hookrightarrow \mathbb {P} (C_{S}).}$

Зокрема, припускаючи, що R₀ = O_X, побудову застосовують до проєкції ${\displaystyle R=R_{0}\oplus R_{1}\oplus \cdots \to R_{0}}$ (яка є доповнювальним відображенням^[en]), що дає

${\displaystyle \sigma :X\hookrightarrow C_{R}}$.

Це перетин; тобто, ${\displaystyle X{\overset {\sigma }{\to }}C_{R}\to X}$ є тотожністю і називається вкладенням нульового перетину.

Розглянемо градуйовану алгебру R[t] зі змінною t, що має степінь один: явно частина n-го степеня буде

${\displaystyle R_{n}\oplus R_{n-1}t\oplus R_{n-2}t^{2}\oplus \cdots \oplus R_{0}t^{n}}$.

Тоді її афінний конус позначають ${\displaystyle C_{R[t]}=C_{R}\oplus 1}$. Проєктивний конус ${\displaystyle \mathbb {P} (C_{R}\oplus 1)}$ називають проєктивним доповненням C_R. Дійсно, нульове місце^[прояснити: ком.] t = 0 точно дорівнює ${\displaystyle \mathbb {P} (C_{R})}$, а доповненням є відкрита підсхема C_R. Локус t = 0 називають гіперплощиною на нескінченності.

О(1)

Нехай R — квазікогерентна градуйована O_X-алгебра, така що R₀ = O_X і R — локально породжена R₁ як O_X-алгебра. Тоді, за визначенням, проєктивний конус R є:

${\displaystyle \mathbb {P} (C)=\operatorname {Proj} _{X}R=\varinjlim \operatorname {Proj} (R(U))}$

де кограниця проходить через відкриті афінні підмножини U в X. За припущенням R(U) має скінченну кількість генераторів степеня один x_i. Отже,

${\displaystyle \operatorname {Proj} (R(U))\hookrightarrow \mathbb {P} ^{r}\times U.}$

Тоді ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R(U))}$ має лінійне розшарування O(1), задане пучком гіперплощин^[en] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)}$ з ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$; склеювання таких локальних O(1), які узгоджуються локально, дає лінійне розшарування O(1) у ${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$.

Для будь-якого цілого числа n позначення O(n) означає n-ий степінь тензора O(1). Якщо конус C =Spec_XR є повним простором векторного лінійне розшарування E, то O (-1) є тавтологічним лінійним розшаруванням^[en] на проєктивному розшаруванні^[en] P(E).

Примітка: коли (локальні) генератори R мають степінь, відмінний від одиниці, побудова O(1) все ще проходить, але зі зваженим проєктивним простором^[en] замість проєктивного простору; тому отримане O(1) не обов'язково є лінійним розшаруванням. Мовою дивізорів це O(1) відповідає Q-дивізору Картьє.

Примітки

1. Behrend та Fantechi, 1997

Література

• Fantechi, Barbara, An introduction to Intersection Theory (PDF)
• Behrend, K.; Fantechi, B. (1 березня 1997). The intrinsic normal cone. Inventiones Mathematicae (англ.). 128 (1): 45—88. doi:10.1007/s002220050136. ISSN 0020-9910.
• William Fulton. (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., т. 2 (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
• § 8 у Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084.