Квазілінійна корисність

Квазіліні́йна фу́нкція ко́ри́сності (англ. quasilinear utility function) лінійна за одним зі своїх аргументів, зазвичай — за рахунковими грішми (англ. numeraire). Квазілінійні переваги можна виразити функцією

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+\theta (x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ,

де ${\displaystyle \theta }$ є строго увігнутою[1]^:164. Подібна функція має зручну властивість: маршаллівський попит на блага ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n}}$ не залежить від рівня добробуту і, отже, не підпалий ефекту багатства[1]^:165-166. Відсутність ефекту полегшує аналіз[1]^:222, що робить квазілінійну корисність популярним засобом моделювання. Більш того, якщо корисність квазілінійна, то компенсувальна варіація доходу, еквівалентна варіація доходу і споживчий надлишок рівні[1]^:163. В дизайні механізмів квазілінійна корисність дозволяє агентам здійснювати сторонні платежі.

Визначення в термінах переваг

Відношення переваги ${\displaystyle \succsim }$ квазілінійне за товаром 1, якщо:

• весь множини байдужості утворюються паралельним зміщенням уздовж осі товару 1. Якщо споживач індиферентний між наборами товарів x і y (x~y), то ${\displaystyle \left(x+\alpha e_{1}\right)\sim \left(y+\alpha e_{1}\right),\forall \alpha \in \mathbb {R} ,e_{1}=\left(1,0,...,0\right)}$[2];
• товар 1 має додатну корисність: ${\displaystyle \left(x+\alpha e_{1}\right)\succ \left(x\right),\forall \alpha >0}$

Іншими словами, відношення переваги квазілінійне, якщо існує один товар, який рухає множини байдужості, зберігаючи відстані між точками байдужості і нахил у кожній точці. У двовимірному випадку квазілінійність означає, що криві байдужості паралельні.

Визначення в термінах функцій корисності

Якщо функція корисності квазілінійна за товаром 1, то вона набуває форми

${\displaystyle u\left(x\right)=x_{1}+\theta \left(x_{2},...,x_{L}\right)}$,

де ${\displaystyle \theta }$ є функція[3]. У двовимірному випадку це, наприклад, ${\displaystyle u\left(x\right)=x_{1}+{\sqrt {x_{2}}}.}$.

Квазілінійна форма характерна для таких функцій попиту, які залежать тільки від цін і не залежать від рівня добробуту. Скажімо, якщо

${\displaystyle u(x,y)=x+\theta (y)}$

тоді попит на y виводиться з рівняння

${\displaystyle \theta '(y)=p_{y}}$,

так що

${\displaystyle y(p,I)=(\theta ')^{-1}(p_{y}),}$,

і цей вираз не залежить від рівня добробуту I.

Непряма функція корисності тоді має вигляд[1]^:154, 169

${\displaystyle v(p,I)=v(p)+I,}$.

Еквівалентність визначень

Кардиналістський і ординалістський підходи до визначення квазілінійної корисності еквівалентні за опуклості споживчої множини і неперервних перевагах, які локально ненасичувані за першим аргументу.

Див. також

• Квазіопукла функція

Примітки

1. Varian H. V. Microeconomic Analysis, 3 ed.
2. Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; Green, Jerry. 3 // Microeconomic Theory. — New York : Oxford University Press, 1995. — С. 45.
3. Topics in Consumer Theory (PDF). hks.harvard.edu. 2006-08. с. 87—88. Архів оригіналу (PDF) за 15 грудня 2011.