Квадратична функція однієї змінної

У математиці, квадратична функція — це поліноміальна функція з старшим членом другого порядку, тобто функція форми ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0}$. Графіком ${\displaystyle \Gamma _{f}}$ квадратичної функції служить парабола з віссю, паралельною осі ${\displaystyle Oy}$. При ${\displaystyle b=c=0}$ вершина параболи опиняється в точці ${\displaystyle (0,0)}$[1].

${\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2\,\!}$

Нулі функції

Нулі квадратичної функції

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,}$

це значення x такі, що f(x) = 0.

Коли коефіцієнти a, b і c, — дійсні чи комплексні, тоді корені

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}},}$

де дискримінант визначений як

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,.}$

Властивості

${\displaystyle f(x)=ax^{2},\!}$${\displaystyle a=\{0.1,0.3,1,3\}\!}$

Загальні властивості

1. Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма.
2. При ${\displaystyle b\neq 0}$ функція не є парною і не є непарною. При ${\displaystyle b=0}$ квадратична функція - парна.
3. Квадратична функція неперервна і диференційована на всій області визначення.
4. Функція має єдину критичну точку ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$.
5. Область зміни функції: при ${\displaystyle a>0}$ - безліч значень функції ${\displaystyle [-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}};+\infty )}$; при ${\displaystyle a<0}$ - безліч значень функції ${\displaystyle (-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}]}$.

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx,\!}$ ${\displaystyle b=\{1,2,3,4\}\!}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx,\!}$ ${\displaystyle b=\{-1,-2,-3,-4\}\!}$

Вершина

У загальному випадку вершина параболи лежить в точці ${\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0});x_{0}=-{\frac {b}{2a}};y_{0}=f(x_{0})=c-{\frac {b^{2}}{4a}}}$. Якщо ${\displaystyle a>0}$ , То гілки параболи спрямовані вгору, якщо ${\displaystyle a<0}$ , То гілки параболи спрямовані вниз.

Екстремуми і перегини

Якщо ${\displaystyle a>0}$, то в точці ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ функція має мінімум. При ${\displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}$ функція монотонно спадає, при ${\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}$ монотонно зростає.

1. Якщо ${\displaystyle a<0}$, то в точці ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ функція має максимум. При ${\displaystyle \displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}$ функція монотонно зростає, при ${\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}$ монотонно спадає.
2. Точка графіка квадратичної функції з абсцисою ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ і ординатою ${\displaystyle y=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$ називається вершиною параболи.

Графік

1. Графік квадратичної функції перетинається з віссю ${\displaystyle \displaystyle Oy}$ в точці ${\displaystyle \displaystyle y=c}$. У випадку, якщо ${\displaystyle \displaystyle b^{2}-4ac>0}$, графік квадратичної функції перетинає вісь ${\displaystyle Ox}$ в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо ${\displaystyle \displaystyle b^{2}-4ac=0}$(квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції торкається осі 0x в точці ${\displaystyle \displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$; якщо ${\displaystyle \displaystyle b^{2}-4ac<0}$, перетину з віссю ${\displaystyle Ox}$ немає.
2. З запису квадратичної функції також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ - образу осі ординат при паралельному перенесенні ${\displaystyle r=-{\frac {b}{2a}};0)}$.
3. Графік функції ${\displaystyle \displaystyle F(x)=ax^{2}+bx+c}$ (або ${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$) може бути отриманий з графіка функції ${\displaystyle \displaystyle f(x)=x^{2}}$ наступними перетвореннями :
   1. паралельним перенесенням ${\displaystyle r=(-{\frac {b}{2a}};0)}$;
   2. стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;
   3. паралельним перенесенням ${\displaystyle r=(0;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}})}$[1].

Похідна

${\displaystyle y^{\prime }=\left(x^{2}\right)^{\prime }=2x}$.

Первісна

${\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {1}{3}}x^{3}+C}$

Див. також

• Квадратичне програмування

Примітки

1. Ярмонтовіч Д.А. (2006). Реферат: Функції. Архів оригіналу за 2 червня 2011. Процитовано 3 червня 2011.

Посилання

• Функція квадратна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.