Диференціальна гра

Ігри диференціальні — напрям у теорії процесів, які описуються диференціальними рівняннями.

Диференціальні ігри мають властивості, характерні як для теорії оптимального керування, так і для теорії ігор. Безпосередньою причиною розвитку теорії диференціальних ігор стали прикладні задачі, в тому числі, військові.

Приклад диференціальної гри

Типовим прикладом задачі диференціальної гри може слугувати задача перехоплення бомбардувальника противника винищувачем. Обидва об'єкти (і винищувач, і бомбардувальник) керовані, і їхня поведінка залежить від того, яким чином діють пілоти. Однак керування перебуває в руках різних осіб з протилежними інтересами: бомбардувальник ухиляється від зустрічі, а винищувач переслідує його.

Складність задачі керування для пілота винищувача полягає в тому, що в нього відсутня інформація про майбутнє керування противника. Він знає технічні можливості літака, знає його положення в цей час, однак не може знати, яке рішення про своє керування прийме пілот бомбардувальника в кожний наступний момент часу. Тому його рішення має базуватись на ситуації, яка склалась до цього моменту.

Формальне визначення диференціальної гри

Формально, в загальній формі, диференціальна гра може бути сформульована таким чином. Є об'єкт керування, поведінка якого описується системою диференціальних рівнянь:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x,u,v)}$, (1)

де x — n-вимірний вектор з компонентами x₁, …, x_n, а f(x, u) — n-вимірна вектор-функція із компонентами f_i(x, u), i = 1, …, n, u та v — керуючі параметри, які представляють r-вимірний та s-вимірний вектори відповідно, які можуть змінюватись на множинах U та V. Крім того, задано термінальну множину M ⊂ E^n, де E^n — n-вимірний простір.

Нехай вибрано дві будь-які функції u(x) та v(x) так, що u(x) ∈ U, v(x) ∈ V і рівняння

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x,u(x),v(x))}$ (2)

має розв'язок. Тоді для кожного початкового стану визначена траєкторія x(t) системи (2) і визначений функціонал

${\displaystyle I(y(\cdot ),\,v(\cdot );\,x^{0})=}$	${\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}f_{0}(x(t),u(x(t)))}$
	${\displaystyle v(x(t)))\,}$,

де t₁ — перший момент часу, коли x(t) ∈ M. Якщо такий момент відсутній, то вважається, що I = + ∞. Задача теорії диференціальних ігор тепер полягає в з'ясуванні питання про те, за яких умов і для яких точок x^0 можливо знайти такі функції u^0(x) та v^0(x), що

${\displaystyle I(u^{0}(\cdot ),\,v(\cdot );\,x^{0})\leq I(u^{0}(\cdot ),v^{0}(\cdot );\,x^{0})}$
${\displaystyle \leq I(u(\cdot ),\,v^{0}(\cdot );\,x^{0})}$.

В такій постановці задачу розв'язано лише для невеликої кількості окремих випадків. Для випадку, коли множина M збігається з всім простором, а t₁ — фіксовано, доведено існування розв'язку гри в деякому узагальненому сенсі. Для загального випадку отримані результати в припущенні деякої дискримінаційної функції другого гравця, який займається керуванням v. А саме: вважається, що приймаючи своє рішення, перший гравець знає майбутнє керування другого на деякому малому відрізку часу. В цьому випадку вдається довести, що весь простір початкових положень може бути розбито на дві області так, що виходячи із першої області, перший гравець завжди може гарантувати собі завершення гри з кінцевою ціною I. В той же час, як в точках другої області він не може собі гарантувати жодного скінченного значення ціни. Побудовано достатні умови можливості завершення гри зі скінченою ціною. Ці умови можна застосувати в основному для розв'язування задач з лінійним об'єктом керування.

Див. також

• Диференціальні рівняння
• Теорія ігор
• Переслідування-ухилення

Література

• Айзекс Р. Дифференциальные игры. — М. : Мир, 1967. — 480 с.
• Оуэн Г. Теория игр. — М. : Мир, 1971. — 232 с.

Джерела

• Енциклопедія кібернетики, Пшеничний Б. Н., т. 1, c. 342—343.