Граф Фрухта

Граф Фрухта
Граф Роберта Фрухта
Вершин	12
Ребер	18
Радіус	3
Діаметр	4
Обхват	3
Автоморфізм	1 (тотожний)
Хроматичне число	3
Хроматичний індекс	3
Властивості	кубічний планарний гамільтонів.

В теорії графів Графом Фрухта називається 3-регулярний граф з 12 вершинами і 18 ребрами без нетривіальних симетрій[1]. Граф вперше був описаний Робертом Фрухтом^[en] в 1939 році[2].

Граф Фрухта — це граф Халіна з хроматичним числом 3, хроматичним індексом 3, радіусом 3, діаметром 4 і обхватом 3. Як і всі графи Халіна, граф Фрухта є планарним, 3-вершинно-зв'язним і багатогранним графом. Він також є k-реберно-зв'язним графом. Його число незалежності дорівнює 5.

Граф Фрухта є гамільтоновим і може бути побудований за LCF-записом [-5,-2,-4,2,5,-2,2,5,-2,-5,4,2].

Алгебраїчні властивості

Граф Фрухта — це один з двох мінімальних кубічних графів, що мають єдиний автоморфізм — тотожність[3] (таким чином, будь-яка вершина може бути топологічно відрізана від інших). Такі графи називаються асиметричними графами. Теорема Фрухта стверджує, що будь-яку групу можна представити як групу симетрій графу[2], а посилення цієї теореми, теж Фрухт, стверджує, що будь-яка група може бути представлена ​​як група симетрій 3-регулярного графу[4]. Граф Фрухта дає приклад такої реалізації для тривіальної групи.

Характеристичний многочлен графу Фрухта дорівнює ${\displaystyle (x-3)(x-2)x(x+1)(x+2)(x^{3}+x^{2}-2x-1)(x^{4}+x^{3}-6x^{2}-5x+4)}$.

Галерея

• 
  Хроматичне число графу Фрухта дорівнює 3.
• 
  Граф Фрухта є гамільтоновим.

Посилання

1. Weisstein, Eric W. Frucht Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
2. R. Frucht. Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe. // Compositio Mathematica. — 1939. — Т. 6. — С. 239–250. — ISSN 0010-437X..
3. Skiena, S. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, 1990
4. R. Frucht. Graphs of degree three with a given abstract group // Canadian Journal of Mathematics. — 1949. — Т. 1. — С. 365–378. — ISSN 0008-414X. — DOI:10.4153/CJM-1949-033-6. Архівовано з джерела 6 липня 2011. Процитовано 2016-01-13..