Від'ємна основа
Нега-позиційна система числення — це позиційна система числення з від'ємною основою. Особливістю таких систем є відсутність знака перед від'ємними числами, тобто відсутність правил знаків. Будь-яке число будь-якої з нега-позиційних систем, відмінне від 0, з непарним числом цифр — додатне, а з парним числом цифр — від'ємне. Часто число в нега-позиційній системі вимагає для запису на одну цифру більше, аніж те ж саме число в системі з позитивною основою. Зазвичай назва нега-позиційної системи складається з префікса нега- і назви відповідної системи числення з додатною основою; Наприклад, нега-десяткова (b = -10), нега-трійкова (b = -3), нега-двійкова (b = -2) та інші. Приклади
ІсторіяНега-позиційні системи числення вперше були запропоновані Вітторіо Грюнвальдом[en] у його роботі «Giornale di Matematiche di Battaglini» 23 (стор. 203—221), опублікованій в 1885 році. Грюнвальд описав алгоритми додавання, віднімання, множення, ділення, отримання кореня, ознак подільності й перетворення систем числення. ВикористанняЧисло x у нега-позиційній системі числення з основою b = -r представляється у вигляді лінійної комбінації числа ступенів -r:
Кожнен ступінь у такому записі називається розрядом, старшинство розрядів і відповідних їм чисел визначається значенням показника . Зазвичай для ненульового числа вимагають, щоб старша цифра у b-річному поданні була також ненульова. Нега-позиційні системи можна порівняти із знако-розрядними системами числення, такими як симетрична трійкова система, де основа системи додатна, однак цифри можуть приймати від'ємні значення з деякого проміжку. Деякі числа мають одне й те ж саме подання в системах числення з основою і (позиційних й відповідним їм нега-позиційних). Приміром, числа від 100 до 109 однаково записуються в десятковій і нега-десяткових системах числення. Аналогічно: Тобто число 17 має однакове представлення в двійковій і нега-двійковій системах числення — . Подання чисел від -12 до 12 в різних системах числення:
Переклад в нега-позиційні системиНега-позиційне подання числа може бути отримано послідовними поділами з залишком вихідного числа (тобто на основу нега-позиційної системи) і записом поспіль залишків починаючи з останнього. Зауважимо, що якщо , із залишком , то . Приклад перекладу в нега-трійкову систему: Отже, нега-трійковим поданням числа 146(10) є число 21102(-3). Реалізація на C#: static string negaternary(int value)
{
string result = string.Empty;
while (value != 0)
{
int remainder = value % -3;
value = value / -3;
if (remainder < 0)
{
remainder += 3;
value += 1;
}
result = remainder.ToString() + result;
}
return result;
}
ДробиАрифметичні операціїДодаванняДодавання стовпчиком треба робити як і в звичайній системі, наприклад, якщо ви хочете скласти в нега-десятковій системі числення, то це треба робити як і в десятковій системі числення. Але з одним винятком: якщо при додаванні в будь-якому розряді виходить число не менше 10, то в цей розряд потрібно записати число одиниць отриманого числа, а з сусіднього зліва розряду – відняти одиницю. Якщо зліва немає розряду, то приписати зліва 19 (для нега-десяткової, для нега-трійкової – 12, для нега-двійковій – 11). Наприклад (нега-десяткова система): · · 18115 + 5487 3582 5+7=12, 2 в розряд одиниць, з сусіднього зліва віднімаємо одиницю. 8+5=13, 3 розряд мінус тисяч, з сусіднього зліва віднімаємо одиницю. · 72 + 49 1901 2+9=11, 1 в розряд одиниць, від сусіднього зліва віднімаємо одиницю. 6+4=10, 0 в розряд мінус десятків, сусіднього зліва — немає, приписуємо зліва 19. ВідніманняВіднімання стовпчиком треба робити як і в звичайній системі, наприклад, якщо ви хочете відняти у нега-десятковій системі числення, то це треба робити як і в десятковій системі числення. Але з одним винятком: якщо при відніманні в якому-небудь розряді треба зайняти десяток, то ви це робите, але з сусіднього зліва розряду ви не віднімаєте одиницю, а, навпаки, додаєте її туди. Якщо зліва немає розряду, то приписати зліва 1. Наприклад (нега-десяткова система): 1 52 - 39 33 2-9 не можна, займаємо одиницю. 12-9=3, 3 в розряд одиниць, до сусіднього зліва розряду додаємо одиницю. 6-3=3. 2 - 9 13 2-9 не можна, займаємо одиницю. 12-9=3, 3 в розряд одиниць, сусіднього зліва розряду немає, тому приписуємо зліва 1. МноженняТаблиця множенняТаблиця множення в нега-двійковій системі численняТаблиця множення в нега-двійковій системі числення
Таблиця множення в нега-трійковій системі численняТаблиця множення в нега-трійковій системі числення
Таблиця множення в нега-десятковій системі численняТаблиця множення в нега-десятковій системі числення
Див. також
|