Бернард Вукас почав кар'єру в молодіжному складі клубу «Конкордія». Потім виступав за аматорський клуб «Аматер» і команду «Загреб».
Влітку 1947 року Вукас перейшов в один з найсильніших югославський клубів — «Хайдук» зі Спліта. З «Хайдуком» Вукас виграв три чемпіонати Югославії, був капітаном команди, а в сезоні 1954—1955 він навіть став найкращим бомбардиром югославської першості, забивши 20 голів, після чого був визнаний спортсменом року в Югославії. Двічі в період гри за «Хайдук», в 1953 і 1954 роках, Вукас викликався ФІФА в збірну Європи: перший матч проходив на Вемблі, де команда Вукаса зіграла внічию з англійцями 4:4, а другий матч проти команди Великої Британії в Белфасті, в якому Вукас забив 3 м'ячі, а команда континентальної Європи перемогла з рахунком 4:1.
У 1957 році Вукас поїхав в Італію, грати за клуб «Болонья», там Вукас провів два сезони, але результативністю не відзначався, забивши лише 2 голи в 45-ти матчах. Після цього Вукас повернувся в «Хайдук» і провів за клуб ще 4 сезони.
У 1963 році, у віці 36-ти років, Вукас поїхав в Австрію, де грав за клуби «Аустрія» Клагенфурт, ДАК і «Капфенберг». Завершив кар'єру Вукас в рідному «Хайдуку» на посаді спортивного директора, за який провів загалом 615 матчів і забив у них 300 голів (у чемпіонаті Югославії 267 ігор і 94 голи), 5 разів Вукас ставав найкращим бомбардиром сезону в команді.
За збірну Югославії Вукас виступав з 1948 по 1952 рік. З національною командою він двічі був срібним призером Олімпіад в 1948 і 1952 роках[4] і двічі брав участь у чемпіонатах світу, у фінальних турнірах якого провів 4 гри[5]. Всього за збірну Вукас провів 59 матчів і забив 22 голи.
З 1971 року і до кінця свого життя Вукас був директором школи тренерів у Белграді.