Народився 22 липня1991 року в місті Зениця. Розпочав займатись футболом у юнацькій команді «Радник», поки в липні 2008 року не переїхав до Австрії, щоб потрапити в академію місцевого ЛАСКа (Лінц). Але Анте провів там лише кілька місяців і у жовтні повернувся до Хорватії, де грав за молодіжні команди «Сесвете» та «Гориця» (Велика Гориця).
У січні 2011 року він приєднався до «Інтера» (Запрешич), у складі якого дебютував 26 лютого 2011 року у матчі проти «Хайдука» (0:0), а 11 березня забив свій перший гол на дорослому рівні у матчі проти столичної «Локомотиви» (4:2). Загалом у своїй першій команді Будимир провів два з половиною сезони, взявши участь у 66 матчах чемпіонату.
У сезоні 2013/14 Будимир грав у складі «Локомотиви», після чого у серпні 2014 року Будимир за 900 тисяч євро[1] приєднався до німецького клубу «Санкт-Паулі» з Другої Бундесліги, підписавши з ним чотирирічний контракт до 2018 року[2]. Втім у Німеччині хорват заграти не зумів, не забивши за сезон жодного голу у чемпіонаті, лише одного разу відзначившись у Кубку, через що грав в тому числі за дубль у Регіоналлізі Північ.
1 вересня 2015 року Будимир був відданий в оренду італійському клубу «Кротоне» з Серії Б[3], де він провів один сезон. Його дебют відбувся 7 вересня 2015 року в грі проти «Кальярі» (0:4), Анте вийшов на 71-й хвилині замість П'єтро Де Джорджіо[en][4]. У березні 2016 року «Кротоне» здійснила опцію покупки гравця за 1 мільйон євро[5]. Будимир закінчив сезон, як найкращий бомбардир «Кротоне» з 16 м'ячами в 40 матчах Серії B[6].
5 липня 2016 року «Сампдорія» викупила Будимира за 1,8 мільйона євро[7], гравець уклав контракт до середини 2020 року[8][9]. У складі генуезців Анте дебютував у Серії А 21 серпня 2016 року у матчі проти «Емполі» (1:0)[10], втім основним гравцем не став, через що 5 липня 2017 року Будимир був відданий в оренду з зобов'язанням викупу назад до «Кротоне»[11], який саме вийшов до Серії А. Там хорват забив 6 голів у 22 матчах, але не допоміг команді врятуватись від вильоту, провівши ще пів року у Серії В (3 голи в 19 іграх).
15 січня 2019 року він відправився в оренду в «Мальорку»[12], якій допоміг вийти до Прімери, забивши один з голів у плей-оф Сегунди у ворота «Депортіво». Після цього 27 червня 2019 року його викупив іспанський клуб за 2,2 млн євро[13].
У Ла Лізі Будимир відзначився дублем 7 грудня 2019 року в гостях у матчі з діючим чемпіоном «Барселоною» (2:5)[6], а загалом за сезон забив 13 голів у 35 матчах вищого чемпіонату Іспанії, ставши найкращим бомбардиром команди та восьмим у списку найкращих бомбардирів чемпіонату. Тим не менш його команда посіла передостаннє 19 місце і вилетіла назад до Сегунди. Станом на 24 червня 2019 року відіграв за клуб з Балеарських островів 50 матчів в національному чемпіонаті.