Алгебраїчне числове поле

Алгебраїчне числове поле, алгебричне числове поле — скінченне розширення поля раціональних чисел. Кожне скінченне розширення є алгебраїчним, тому такі поля є підполями алгебраїчних чисел. Алгебраїчні числові поля і кільця їх цілих чисел є одним з основних об'єктів вивчення алгебраїчної теорії чисел.

Приклади

• Поле раціональних гаусових чисел, тобто поле виду ${\displaystyle a+bi,~a,b\in \mathbb {Q} ,~i={\sqrt {-1}}.}$
• Узагальненням попереднього прикладу є квадратичне поле ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}],}$ що одержується приєднанням до раціональних чисел кореня з деякого цілого числа, що не є квадратом.
• Кругове поле ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}),}$ де ${\displaystyle \zeta _{n}}$ — первісний корінь з одиниці степеня n.
• Поля дійсних і комплексних чисел є нескінченними розширеннями поля раціональних чисел, тому ці числові поля не є алгебраїчними.

Див. також

• Скінченне розширення
• Алгебраїчні числа
• Ціле алгебраїчне число
• Кільце цілих чисел

Література

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.) , глава 6.
• Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел.^[недоступне посилання з лютого 2019] М., 1964.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.), глава 17: Целые алгебраические элементы.
• Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
• Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
• Janusz, Gerald J. (1996 1997), Algebraic Number Fields (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0429-2
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8