Кільце цілих чисел

Кільце цілих чисел — множина цілих чисел, з операціями додавання, віднімання і множення.

Більш загально кільце цілих чисел числового поля K, що часто позначається O_K (чи ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$) — кільце цілих алгебраїчних чисел, що містяться в K.

Використовуючи цю систему позначень, можна записати ${\displaystyle \mathbb {Z} ={\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} },}$ оскільки ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ є кільцем цілих чисел поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ раціональних чисел. В алгебраїчній теорії чисел через це елементи ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ часто називають «раціональними цілими числами».

Кільце цілих чисел O_K є ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модулем; він є вільним модулем і тому має цілочисельний базис, тобто існують елементи b₁,...,b_n ∈ O_K такі, що довільний елемент x кільця O_K може єдиним чином бути записаний у виді:

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

де ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$. Ранг n O_K як вільного Z-модуля рівний степеню K як розширення поля Q.

Кільце цілих чисел числового поля є кільцем Дедекінда.

Приклади

Якщо p — просте число, ζ — корінь з одиниці степеня p, ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta )}$ — відповідне кругове поле, тоді цілочисельний базис O_K=Z[ζ] рівний (1, ζ, ζ^2, ..., ζ^p−2).

Якщо d — ціле число, вільне від квадратів, K = Q(d^1/2) — відповідне квадратичне поле, тоді цілочисельний базис O_K рівний (1, (1 + d^1/2)/2) якщо d ≡ 1 (mod 4) і рівний (1, d^1/2) якщо d ≡ 2 чи 3 (mod 4).

Кільце p-адичних цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ є кільцем цілих чисел p-адичних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

Посилання

• Ю. Дрозд Алгебричні числа. Конспект лекцій [Архівовано 17 січня 2015 у Wayback Machine.]
• M. Filaseta Algebraic number theory. Instructors notes (англ.)